高一数学;在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB)的最小值为在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB)的最小值为___
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 11:52:52
![高一数学;在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB)的最小值为在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB)的最小值为___](/uploads/image/z/11607095-47-5.jpg?t=%E9%AB%98%E4%B8%80%E6%95%B0%E5%AD%A6%EF%BC%9B%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E8%A7%92A%E3%80%81B%E3%80%81C%E6%89%80%E5%AF%B9%E8%BE%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAa%E3%80%81b%E3%80%81c%2C%E5%85%B6%E5%A4%96%E6%8E%A5%E5%9C%86%E5%8D%8A%E5%BE%84%E4%B8%BA1%2C%E5%88%99%28a%2Bb%29%281%2FsinA%2B1%2FsinB%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E4%B8%BA%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E8%A7%92A%E3%80%81B%E3%80%81C%E6%89%80%E5%AF%B9%E8%BE%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAa%E3%80%81b%E3%80%81c%2C%E5%85%B6%E5%A4%96%E6%8E%A5%E5%9C%86%E5%8D%8A%E5%BE%84%E4%B8%BA1%2C%E5%88%99%28a%2Bb%29%281%2FsinA%2B1%2FsinB%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E4%B8%BA___)
高一数学;在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB)的最小值为在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB)的最小值为___
高一数学;在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB)的最小值为
在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB)的最小值为____________.
高一数学;在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB)的最小值为在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,其外接圆半径为1,则(a+b)(1/sinA+1/sinB)的最小值为___
a=2rsinA sinA=a/2r 1/sinA=2r/a
b=2rsinB sinB=b/2r 1/sinB=2r/b
(a+b)(1/sinA+1/sinB)
=(a+b)(2r/a+2r/b)
=2(a+b)(a+b)/ab
=2(a+b)²/ab
∵a、b、c是△ABC中的边,
∴a、b、c都大于0
∴a+b≥2√ab
∴2(a+b)²/ab ≥2(2√ab)²/ab=8
∴ (a+b)(1/sinA+1/sinB)的最小值为8
由正弦定理可得a/sinA=b/sinB=2R=2
所以sinA=a/2, sinB=b/2,
所以(a+b)(1/sinA+1/sinB)=a/sinA+b/sinA+a/sinB+b/sinB
=4+b/sinA+a/sinB
...
全部展开
由正弦定理可得a/sinA=b/sinB=2R=2
所以sinA=a/2, sinB=b/2,
所以(a+b)(1/sinA+1/sinB)=a/sinA+b/sinA+a/sinB+b/sinB
=4+b/sinA+a/sinB
=4+2(b/a+a/b)
≥4+2*2sqrt(b/a*(a/b))=8
当且仅当b/a=a/b时,即a=b时,等号成立。
所以(a+b)(1/sinA+1/sinB)的最小值是8.
收起
本题主要考查正弦定理和基本不等式的应用。原式展开=(a/sinA+b/sinB)+(a/sinB+b/sinA),由正弦定理得a/sinA,b/sinB均等于2R=2,而a/sinB+b/sinA>=2(a/sinB*b/sinA)^1/2=4(定值)所以原式的最小值为8.