在矩形ABCD中,F在AB延长线上,BF=AC,E是DF上一点,∠AEC=90度,求证:∠DEC=∠DFC+∠ACE.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 23:13:08
![在矩形ABCD中,F在AB延长线上,BF=AC,E是DF上一点,∠AEC=90度,求证:∠DEC=∠DFC+∠ACE.](/uploads/image/z/11510406-54-6.jpg?t=%E5%9C%A8%E7%9F%A9%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2CF%E5%9C%A8AB%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%B8%8A%2CBF%3DAC%2CE%E6%98%AFDF%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E2%88%A0AEC%3D90%E5%BA%A6%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E2%88%A0DEC%3D%E2%88%A0DFC%2B%E2%88%A0ACE.)
在矩形ABCD中,F在AB延长线上,BF=AC,E是DF上一点,∠AEC=90度,求证:∠DEC=∠DFC+∠ACE.
在矩形ABCD中,F在AB延长线上,BF=AC,E是DF上一点,∠AEC=90度,求证:∠DEC=∠DFC+∠ACE.
在矩形ABCD中,F在AB延长线上,BF=AC,E是DF上一点,∠AEC=90度,求证:∠DEC=∠DFC+∠ACE.
证明:将对角线AC、BD的交点设为O,连接OE
∵矩形ABCD
∴OA=OB=OC=OD,AC=BD,O为AC的中点
∵∠AEC=90
∴OE=OA=OC (直角三角形中线特性)
∴OE=OD
∴∠ODE=∠OED,∠OEC=∠ACE
∴∠DEC=∠OED+∠OEC=∠ODE+∠ACE
∵BF=AC
∴BF=BD
∴∠DFC=∠ODE
∴∠DEC=∠DFC+∠ACE
设AC与BD交于点O
连接OE
由矩形的性质可得:OA=OC=OB=OD=1/2AC=1/2BD
在Rt∆AEC中,OA=OC
所以 OE=1/2AC 即OE=OA=OC=OB=OD
连接BE
因为 OE=OB OE=OD
所以 ∠OBE=∠OEB ∠OED=∠ODE
在∆BED中 ∠OBE...
全部展开
设AC与BD交于点O
连接OE
由矩形的性质可得:OA=OC=OB=OD=1/2AC=1/2BD
在Rt∆AEC中,OA=OC
所以 OE=1/2AC 即OE=OA=OC=OB=OD
连接BE
因为 OE=OB OE=OD
所以 ∠OBE=∠OEB ∠OED=∠ODE
在∆BED中 ∠OBE+∠BED+∠ODE=180度
所以 ∠OBE+(∠OEB +∠OED)+∠ODE=180度
2(∠OEB +∠OED)=180度
即 2∠BED=180度
即 ∠BED=90度 即BE⊥DF
在∆BDF中 BD=BF 且 BE⊥DF
所以 BE=EF
因为 BE=EF 且 OB=OD
所以 OE∥BF
所以 ∠OEC =∠ECF
因为 OE=OC
所以 ∠OEC =∠OCE
所以 ∠ECF =∠OCE
因为 ∠DEC=∠DFC+∠ECF 且 ∠ECF =∠OCE
所以 ∠DEC=∠DFC+∠OCE
即 ∠DEC=∠DFC+∠ACE
收起
稍等,我重新编辑一下。 设AC与BD的交点为G,连续GE, ∵∠AEC=90°,即AEC为直角三角形, ∴GE=AG=GD=GC ∴△GDE与△GEC为等腰△,∠EDG=∠DEG,∠GEC=∠GCE=∠ACE 又BF=AC=BD ∴△BDF为等腰三角形,∠DFC=∠FDB, 故∠DEC=∠DEG+∠GEC=∠EDG+∠ACE=∠DFC+∠ACE
证明: 设AC与BD的交点为O 连接OE ∵ABCD是矩形 ∴AC=BD,OB=OD ∵BD=AC=BF,∠AEC=90° ∴OE=1/2BD=1/2AC=OC=OD ∴∠OED=∠ODE=∠F ∴OE∥BF ∴∠ECF=∠OEC=∠OCE ∴OE=OC ∴∠OEC=∠OCE ∴∠DEC=∠F+∠FCE=∠F+∠ACE