证明方程3x^3+9(1+根号3)x^2+18(1+根号3)x+12+10根号3=0有唯一实根
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 23:12:43
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证明方程3x^3+9(1+根号3)x^2+18(1+根号3)x+12+10根号3=0有唯一实根
证明方程3x^3+9(1+根号3)x^2+18(1+根号3)x+12+10根号3=0有唯一实根
证明方程3x^3+9(1+根号3)x^2+18(1+根号3)x+12+10根号3=0有唯一实根
令f(x)=3x^3+9(√3+1)x^2+18(1+√3)x+12+10√3
f'(x)=9x^2+18(1+√3)x+18(1+√3)
=9(x+1+√3)^2
>=0恒成立
所以f(x)在R上为单调增函数,函数至多有一个零点
x趋向于+∞时,函数值也趋向于+∞;
x趋向于-∞时,函数值也趋向于-无穷大,由于函数连续,至少有一个零点.
综合以上两点,f(x)有且仅有一个零点,即方程f(x)=0有唯一实根
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(1)存在性
当x趋于负无穷时,f(x)<0
当x趋于正无穷时,f(x)>0
故f(x)至少有一个实根
(2)唯一性
设f(x)=3x^3+9(1+根号3)x^2+18(1+根号3)x+12+10根号3
则f '(x)=9x^2+18(1+根号3)x+18(1+根号3)
△=[18(1+根号3)]^2-4*9*18(1+根号3)<0
...
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(1)存在性
当x趋于负无穷时,f(x)<0
当x趋于正无穷时,f(x)>0
故f(x)至少有一个实根
(2)唯一性
设f(x)=3x^3+9(1+根号3)x^2+18(1+根号3)x+12+10根号3
则f '(x)=9x^2+18(1+根号3)x+18(1+根号3)
△=[18(1+根号3)]^2-4*9*18(1+根号3)<0
则f '(x)>0恒成立
即f(x)单调增
由于f(x)连续,
故f(x)有且仅有一个实根
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