一道难的初中数学压轴题如图,点P是双曲线 上一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y= (0<k2<|k1|)于E、F两点.(1)图1中,四边形PEOF的面积S1= (用含k1、k2的式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 19:44:52
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一道难的初中数学压轴题如图,点P是双曲线 上一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y= (0<k2<|k1|)于E、F两点.(1)图1中,四边形PEOF的面积S1= (用含k1、k2的式
一道难的初中数学压轴题
如图,点P是双曲线 上一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y= (0<k2<|k1|)于E、F两点.
(1)图1中,四边形PEOF的面积S1= (用含k1、k2的式子表示);
(2)图2中,设P点坐标为(-4,3).
①判断EF与AB的位置关系,并证明你的结论;
②记 ,S2=S△PEF-S△OEF是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由.
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一道难的初中数学压轴题如图,点P是双曲线 上一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y= (0<k2<|k1|)于E、F两点.(1)图1中,四边形PEOF的面积S1= (用含k1、k2的式
(1)k2-k1 … ………………………………3分
(2)①EF∥AB. ……………………………………4分
证明:如图,由题意可得A(–4,0),B(0,3),E(-4,-k2/4) ,F(k2/3,3) .
∴PA=3,PE= ,PB=4,PF= k2/3+4.
∴ PA/PE=12/(12+k), PB/PF=12/(12+k),
∴ PA/PE=PB/PF. ………………………… 6分
又∵∠APB=∠EPF.
∴△APB ∽△EPF,∴∠PAB=∠PEF.
∴EF∥AB. …………………………… 7分
②S2没有最小值,理由如下:
过E作EM⊥y轴于点M,过F作FN⊥x轴于点N,两线交于点Q.
由上知M(0,-k2/4 ),N( k2/3,0),Q( k2/3, -k2/4). ……………… 8分
而S△EFQ= S△PEF,
∴S2=S△PEF-S△OEF=S△EFQ-S△OEF=S△EOM+S△FON+S矩形OMQN
=1/12*(k2+6)2-3 . ………………………… 10分
当 k2>-6时,S2的值随k2的增大而增大,而0<k2<12. …………… 11分
∴0<S2<24,s2没有最小值. …………………………… 12分
说明:1.证明AB∥EF时,还可利用以下三种方法.方法一:分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式,利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF;方法二:利用 = 来证明AB∥EF;方法三:连接AF、BE,利用S△AEF=S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等,再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF.
2.求S2的值时,还可进行如下变形:
S2= S△PEF-S△OEF=S△PEF-(S四边形PEOF-S△PEF)=2 S△PEF-S四边形PEOF,再利用第(1)题中的结论.