复合函数单调性问题!设函数y=f(x)定义在R上,当x>0时y=f(x)>1,且对于任意实数a,b属于R,有f(a+b)=f(a)·f(b),判断 f(x)在R上的单调性.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 17:38:23
![复合函数单调性问题!设函数y=f(x)定义在R上,当x>0时y=f(x)>1,且对于任意实数a,b属于R,有f(a+b)=f(a)·f(b),判断 f(x)在R上的单调性.](/uploads/image/z/9314011-19-1.jpg?t=%E5%A4%8D%E5%90%88%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7%E9%97%AE%E9%A2%98%21%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0y%3Df%28x%29%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%2C%E5%BD%93x%3E0%E6%97%B6y%3Df%28x%29%3E1%2C%E4%B8%94%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E4%BB%BB%E6%84%8F%E5%AE%9E%E6%95%B0a%2Cb%E5%B1%9E%E4%BA%8ER%2C%E6%9C%89f%28a%2Bb%29%3Df%28a%29%C2%B7f%28b%29%2C%E5%88%A4%E6%96%AD+f%28x%29%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7.)
复合函数单调性问题!设函数y=f(x)定义在R上,当x>0时y=f(x)>1,且对于任意实数a,b属于R,有f(a+b)=f(a)·f(b),判断 f(x)在R上的单调性.
复合函数单调性问题!
设函数y=f(x)定义在R上,当x>0时y=f(x)>1,且对于任意实数a,b属于R,有f(a+b)=f(a)·f(b),判断 f(x)在R上的单调性.
复合函数单调性问题!设函数y=f(x)定义在R上,当x>0时y=f(x)>1,且对于任意实数a,b属于R,有f(a+b)=f(a)·f(b),判断 f(x)在R上的单调性.
设x10
所以f(x2-x1)>1
所以f(x2)/f(x1)>1
若a,b>0
因为f(a)/f(b)=f(a-b)>0
a-b可以取任意实数,所以f(x)>0
所以f(x1)>0
所以f(x2)>f(x1)
即函数为增函数
f(x)在x>0时是单调递增的,而且是严格单调递增。
证明:
首先我们必须承认这样一个结论:
若f(x)在区间(a,b)上是一个单调递增的函数,等价于"对于任意的a <= x1 < x2 <= b,有f(x1) <= f(x2);",也等价于"若f(x)在区间(a,b)上恒大于0,对于任意的a <= x1 < x2 <= b,总有f(x2)/f(x1) >= 1;"。
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f(x)在x>0时是单调递增的,而且是严格单调递增。
证明:
首先我们必须承认这样一个结论:
若f(x)在区间(a,b)上是一个单调递增的函数,等价于"对于任意的a <= x1 < x2 <= b,有f(x1) <= f(x2);",也等价于"若f(x)在区间(a,b)上恒大于0,对于任意的a <= x1 < x2 <= b,总有f(x2)/f(x1) >= 1;"。
开始证明
对任意的0 < x1 < x2,有f(x1) > 1 > 0,f(x2) > 1 > 0
且f(x2) / f(x1) = f((x2 - x1) + x1) / f(x1)
= [ f(x2 - x1) * f(x1) ]/f(x1) = f(x2 - x1)
显然,x2 - x1 > 0,所以f(x2 - x1) > 1,
即f(x2) / f(x1) > 0,
根据上述的等价性,f(x)在x>0时是单调递增的
证毕
收起
若f(x)在区间(a,b)上是一个单调递增的函数,等价于"对于任意的a <= x1 < x2 <= b,有f(x1) <= f(x2);",也等价于"若f(x)在区间(a,b)上恒大于0,对于任意的a <= x1 < x2 <= b,总有f(x2)/f(x1) >= 1;"。任意的0 < x1 < x2,有f(x1) > 1 > 0,f(x2) > 1 > 0
且f(x2) / f(x1...
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若f(x)在区间(a,b)上是一个单调递增的函数,等价于"对于任意的a <= x1 < x2 <= b,有f(x1) <= f(x2);",也等价于"若f(x)在区间(a,b)上恒大于0,对于任意的a <= x1 < x2 <= b,总有f(x2)/f(x1) >= 1;"。任意的0 < x1 < x2,有f(x1) > 1 > 0,f(x2) > 1 > 0
且f(x2) / f(x1) = f((x2 - x1) + x1) / f(x1)
= [ f(x2 - x1) * f(x1) ]/f(x1) = f(x2 - x1)
显然,x2 - x1 > 0,所以f(x2 - x1) > 1,
即f(x2) / f(x1) > 0,
根据上述的等价性,f(x)在x>0时是单调递增的
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