一道数学抛物线的题一直过坐标原点的两条互相垂直的直线与抛物线y=ax^2(a>0)分别交于A、B两点.(1)求弦AB的中点M的轨迹方程(2)证明AB恒过一个定点,并求出其坐标
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 07:58:11
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一道数学抛物线的题一直过坐标原点的两条互相垂直的直线与抛物线y=ax^2(a>0)分别交于A、B两点.(1)求弦AB的中点M的轨迹方程(2)证明AB恒过一个定点,并求出其坐标
一道数学抛物线的题
一直过坐标原点的两条互相垂直的直线与抛物线y=ax^2(a>0)分别交于A、B两点.
(1)求弦AB的中点M的轨迹方程
(2)证明AB恒过一个定点,并求出其坐标
一道数学抛物线的题一直过坐标原点的两条互相垂直的直线与抛物线y=ax^2(a>0)分别交于A、B两点.(1)求弦AB的中点M的轨迹方程(2)证明AB恒过一个定点,并求出其坐标
设 两条直线的斜率为k 及 -1/k
A点:(x1,y1)
B点:(x2,y2)
AB中点m的坐标为(x,y)
x=(x1+x2)/2
y=(y1+y2)/2
依题意 有:
y1=a(x1)² (1)
y2=a(x2)² (2)
y1=kx1 (3)
y2=-x2/k (4)
显然 AB 皆不是原点 没有除0的问题
(1)*(2) 与 (3)*(4) 比较得到:
x1x2=-1/a² (5)
2y=(y1+y2)=a[(x1+x2)²-2x1x2]=4x²+2/a²
所以 m 的轨迹方程为 y= 2x²+1/a²
由(1)(3) 知:x1=k/a y1=k²/a
由(2)(4) 知:x2=-1/ak y2=1/(ak²)
AB连线方程为:(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)
即:(y-y1)/(x-x1)=-(1/k²-k²)/ (1/k+k) =k-1/k
y-k²/a=(k-1/k)(x-k/a)
y=(k-1/k)x+1/a
定点意味着与k无关 这只能是x=0时 才能实现
所以所求定点为 (0,1/a)