一道立体几何证明题四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB//CD,AB垂直与BC,PC垂直与AD,PA垂直与底面ABCD,PA=AB=BC,点E在棱PB上,且PD//平面EAC,(1)求证:PE=2EB(2)求二面角E-AD-C的大小
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 16:49:21
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一道立体几何证明题四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB//CD,AB垂直与BC,PC垂直与AD,PA垂直与底面ABCD,PA=AB=BC,点E在棱PB上,且PD//平面EAC,(1)求证:PE=2EB(2)求二面角E-AD-C的大小
一道立体几何证明题
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB//CD,AB垂直与BC,PC垂直与AD,PA垂直与底面ABCD,PA=AB=BC,点E在棱PB上,且PD//平面EAC,
(1)求证:PE=2EB
(2)求二面角E-AD-C的大小
一道立体几何证明题四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB//CD,AB垂直与BC,PC垂直与AD,PA垂直与底面ABCD,PA=AB=BC,点E在棱PB上,且PD//平面EAC,(1)求证:PE=2EB(2)求二面角E-AD-C的大小
(1)证明:∵PA垂直平面ABCD
∴PA垂直AD
∵PC垂直AD,且交直线PA与点P
∴直线AD垂直平面PAC,即AD垂直AC
假设直线AC与直线BD相交与点O,则平面PBD与平面EAC相交与直线EO
∴若PD//平面EAC,则PD必然平行交线EO
∴PE:EB = OD:OB
∵三角形ABC的面积是三角形ACD面积的一半
∴在等底AC的情况下得出OD:OB =2:1
∴PE = 2EB
(2) 过E做垂线EG垂直直线DA延长线于G,过G做直线GH平行直线AC并交直线BC于点H.
∵AC垂直AD
∴GH垂直直线AD
∴AD垂直平面EGH
∴二面角E-AD-C的大小等于角EGH
∵EO//PA,所以EO 垂直HG,EO = 1/3,OG = HG - HO = 5/12√2
∴该二面角的大小为 arctan(2√2/5)