将长为L的铁丝分成2断,一段绕成圆,一段绕成正方形,要使两者面积之和最小,该如何分
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 20:26:04
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将长为L的铁丝分成2断,一段绕成圆,一段绕成正方形,要使两者面积之和最小,该如何分
将长为L的铁丝分成2断,一段绕成圆,一段绕成正方形,要使两者面积之和最小,该如何分
将长为L的铁丝分成2断,一段绕成圆,一段绕成正方形,要使两者面积之和最小,该如何分
设分成两段分别为x,L-x. 圆的半径为R,正方形的边长为a.
长为x的铁丝绕成圆, 那么 2πR=x ,解得R=x/2π
圆的面积=πR²=π(x/2π)²=x²/4π.
长为L-x的铁丝绕成正方形,那么4a=L-x,解得a=(L-x)/4
正方形的面积=a²=[(L-x)/4]²=(L-x)²/16
所以两者面积和=x²/4π+(L-x)²/16=(4+π)/16π ×[x-πL/(4+π)]²+(π+3)L²/16(π+4)
所以当x=πL/(4+π)时,两者面积和取得最小值为 (π+3)L²/16(π+4)
此时绕成圆的铁丝长=x=πL/(4+π)
绕成正方形的铁丝长=L-x=L-πL/(4+π)
即将长为L的铁丝分成πL/(4+π)和L-πL/(4+π)分别绕成圆和正方形时,两者面积最小.
这是一个二次函数的问题
设圆那一段周长X,则正方形周长为L-X,(0
所以,S1=X²/4π
对正方形:周长L-X=4a,面积S2=a²,
所以,S2=(L-X)²/16
面积之和S=S1+S2=(1/4π+1/16)X&sup...
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这是一个二次函数的问题
设圆那一段周长X,则正方形周长为L-X,(0
所以,S1=X²/4π
对正方形:周长L-X=4a,面积S2=a²,
所以,S2=(L-X)²/16
面积之和S=S1+S2=(1/4π+1/16)X²-L/8*X+L²/16 (0
所以,当X=L/4+π时,面积之和最小,此时正方形周长L-X=(3+π/4+π )L
所以分法为,圆一段长L/4+π,正方形一段长(3+π/4+π )L
收起
设前者长为x,○面积为(x除以2π)^2*π,正方形面积为(l-x)^2除以16
所以s=4x^2+πx^2-2lxπ+l^2π
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所以X=lπ除以4+π