已知abcd都是实数,且a²+b²=r²,c²+d²=R²,(r,R均大于0)求证:|ac+bd|≤已知abcd都是实数,且a2+b2=r2,c2+d2=R2,(r,R均大于0)求证:|ac+bd|≤(r2+R2)/2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 23:54:32
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已知abcd都是实数,且a²+b²=r²,c²+d²=R²,(r,R均大于0)求证:|ac+bd|≤已知abcd都是实数,且a2+b2=r2,c2+d2=R2,(r,R均大于0)求证:|ac+bd|≤(r2+R2)/2
已知abcd都是实数,且a²+b²=r²,c²+d²=R²,(r,R均大于0)求证:|ac+bd|≤
已知abcd都是实数,且a2+b2=r2,c2+d2=R2,(r,R均大于0)求证:
|ac+bd|≤(r2+R2)/2
已知abcd都是实数,且a²+b²=r²,c²+d²=R²,(r,R均大于0)求证:|ac+bd|≤已知abcd都是实数,且a2+b2=r2,c2+d2=R2,(r,R均大于0)求证:|ac+bd|≤(r2+R2)/2
证法一(综合法):
∵a、b、c、d都是实数,
∴|ac+bd|≤|ac|+|bd|≤(a^2+c^2)/2+(b^2+d^2)/2=(a^2+c^2+b^2+d^2)/2
∵a^2+b^2=r^2,c^2+d^2=R^2,
∴|ac+bd|≤(r^2+R^2)/2 .
证法二(比较法):
显然|ac+bd|≤(r^2+R^2)/2
-(r^2+R^2)/2≤ac+bd≤ (r^2+R^2)/2
先证ac+bd≤ (r^2+R^2)/2.
ac+bd- (r^2+R^2)/2
=ac+bd-(a^2+c^2+b^2+d^2)/2)
=-〔(a-c)^2+(b-d)^2〕/2≤0
∴ac+bd≤ (r2+R2)/2.
再证ac+bd≥- (r^2+R^2)/2.
ac+bd+ (r^2+R^2)/2
=ac+bd+ (a^2+b^2+c^2+d^2)/2
= [(a+c)^2+(b+d)^2]/2≥0,
∴ac+bd≥-(r^2+R^2)/2
综上述|ac+bd|≤(r^2+R^2)/2
a2+b2=r2,c2+d2=R2,
相加,
a^2+b^2+c^2+d^2=r^2+R^2
而
a^2+b^2>=2|ab|
c^2+d^2>=2|cd|
则
a^2+b^2+c^2+d^2>|2ab+2cd|
则
r^2+R^2>2|(ab+cd)|
即:|ac+bd|≤(r2+R2)/2
(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd) 2=(bc-ad) 2≥0
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd) 2
|ac+bd|≤√R²r²=Rr≤(r2+R2)/2
如下:
因为0≤(a-b)^2,所以2|ab|≤a^2+b^2 (这个简单,自已解开移一下项就行了)
因此
2|ac|≤a^2+c^2
2|bd|≤b^2+d^2
两式相加就得到
2(|ac|+|bd|)≤a^2+b^2+c^2+d^2=(r^2+R^2)
所以|ac+bd|≤(r2+R2)/2