如图,BD、CE是三角形ABC的高,AF是角平分线,AF交DE于P,试说明:DE:BC=AP:AF.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 02:19:48
![如图,BD、CE是三角形ABC的高,AF是角平分线,AF交DE于P,试说明:DE:BC=AP:AF.](/uploads/image/z/8637453-45-3.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2CBD%E3%80%81CE%E6%98%AF%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9A%84%E9%AB%98%2CAF%E6%98%AF%E8%A7%92%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF%2CAF%E4%BA%A4DE%E4%BA%8EP%2C%E8%AF%95%E8%AF%B4%E6%98%8E%EF%BC%9ADE%3ABC%3DAP%3AAF.)
如图,BD、CE是三角形ABC的高,AF是角平分线,AF交DE于P,试说明:DE:BC=AP:AF.
如图,BD、CE是三角形ABC的高,AF是角平分线,AF交DE于P,试说明:DE:BC=AP:AF.
如图,BD、CE是三角形ABC的高,AF是角平分线,AF交DE于P,试说明:DE:BC=AP:AF.
高手一眼就可知E,D,C,B四点共圆.再证三角形APD相似三角形ABF,三角形AED相似三角形ABC那就简单多了.
证明:设BD交EC为G,因为三角形EGB相似三角形DGC,即角EBD=角DCE,所以EG/DG=BG/GC,又角EGD=角BGC,所以三角形EGD相似三角形BGC,所以角EDB=角ECB,角DEC=角DBC,所以角BED+角DCB=角BED+角EBD+角EDC=180度(因为角DCB=角DCE+角ECB=角EBC+角EDB),所以E,D,C,B四点共圆.
1、先证三角形APD相似三角形ABF
因为角ADE=角DCE+角DEC,又角DEC=角DBC,角DCE=角EBD(四点共圆,同一条弦所对的圆周角相等.),所以角ADE=角EBD+角DBC=角ABC,而角BAF=角FAC,所以这两个三角形相似,
所以AP/AF=AD/AB
2、再证三角形AED相似三角形ABC
因为角AED=角EBD+角EDB,而角EBD=角DCE,角EDB=角ECB,(都是四点共圆惹的祸),所以角AED=角DCE+角ECB=角ACB,又角BAC是公共角,所以两三角形相似,所以AD/AB=DE/BC
综合1和2得:DE/BC=AP/AF
∴△ADB∽△AEC
∴AD/AE=AB/AC
∴△ADE∽△ABC
∴∠AEP=∠ACF,DE/BC=AE/AC ①
∴∠PAE=∠FAC
∴△PAE∽△FAC
∴AE/AC=AP/AF ②
由①②得DE:BC=AP:AF
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