有一个焦点在x轴上的椭圆,其离心率为e=√3/2,椭圆的上方有一点P(0,3/2),椭圆上有一点Q,已知PQ距离的最大值为√7,求这个椭圆的标准方程?(注:Q点不一定就是椭圆的最低点)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 07:11:07
![有一个焦点在x轴上的椭圆,其离心率为e=√3/2,椭圆的上方有一点P(0,3/2),椭圆上有一点Q,已知PQ距离的最大值为√7,求这个椭圆的标准方程?(注:Q点不一定就是椭圆的最低点)](/uploads/image/z/8484318-54-8.jpg?t=%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%84%A6%E7%82%B9%E5%9C%A8x%E8%BD%B4%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%A4%AD%E5%9C%86%2C%E5%85%B6%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87%E4%B8%BAe%3D%E2%88%9A3%2F2%2C%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E4%B8%8A%E6%96%B9%E6%9C%89%E4%B8%80%E7%82%B9P%280%2C3%2F2%29%2C%E6%A4%AD%E5%9C%86%E4%B8%8A%E6%9C%89%E4%B8%80%E7%82%B9Q%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5PQ%E8%B7%9D%E7%A6%BB%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E4%B8%BA%E2%88%9A7%2C%E6%B1%82%E8%BF%99%E4%B8%AA%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E6%A0%87%E5%87%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%3F%EF%BC%88%E6%B3%A8%EF%BC%9AQ%E7%82%B9%E4%B8%8D%E4%B8%80%E5%AE%9A%E5%B0%B1%E6%98%AF%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%8E%E7%82%B9%EF%BC%89)
有一个焦点在x轴上的椭圆,其离心率为e=√3/2,椭圆的上方有一点P(0,3/2),椭圆上有一点Q,已知PQ距离的最大值为√7,求这个椭圆的标准方程?(注:Q点不一定就是椭圆的最低点)
有一个焦点在x轴上的椭圆,其离心率为e=√3/2,椭圆的上方有一点P(0,3/2),椭圆上有一点Q,已知PQ距离的最大值为√7,求这个椭圆的标准方程?(注:Q点不一定就是椭圆的最低点)
有一个焦点在x轴上的椭圆,其离心率为e=√3/2,椭圆的上方有一点P(0,3/2),椭圆上有一点Q,已知PQ距离的最大值为√7,求这个椭圆的标准方程?(注:Q点不一定就是椭圆的最低点)
设椭圆方程为:x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0,因)
e=√3/2,即:c/a=√3/2,(a²-b²)/a²=3/4,a²=4b²
第一种情况:P(0,3/2)在椭圆上
又由于椭圆中心在原点,且焦点在X轴上,点P(0,3/2)在椭圆上
所以b=3/2,b²=9/4,a²=9
椭圆方程为:x²/9 + y²/(9/4)=1
第二种情况:P(0,3/2)不在椭圆上(注:解出的b应该小于3/2)
x²/a²+y²/b²=1 ,即x²/4b²+y²/b²=1,x²+4y²=4b²,x²=4b²-4y²
设椭圆上距离P的最远点的坐标是(x,y),则有:
(x-0)²+(y-3/2)²,把x²=4b²-4y²代入,整理可得:
4b²-3(y²+y)+ (9/4),4b²是定值,-3(y²+y)是开口向下的二次函数,
显然最大值在y=-1/2处取得,为7,y=-1/2时,4b²-3(y²+y)+ (9/4)=7
解得:b²=1(符合b
方程是 x^2/4+y^2=1 x的平方除以4 加上y 的平方等于1 。
可设椭圆方程:(x^2/4t^2)+(y^2/t^2)=1.(t>0).由此可设点Q(2tcosa,tsina).===>|PQ|^2=d^2=(2tcosa)^2+[tsina-(3/2)]^2=4t^2+3-3[tsina+(1/2)]^2≤4t^2+3≤7.等号仅当t=1,sina=-1/2时取得。===》椭圆方程为:(x^2/4)+y^2=1.