13.已知点P是直角坐标平面xOy上的一个动点,|OP|= (点O为坐标原点),点M(-1,0),则cos OPM的取值范围是要详解|OP|= 根号2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 16:22:33
![13.已知点P是直角坐标平面xOy上的一个动点,|OP|= (点O为坐标原点),点M(-1,0),则cos OPM的取值范围是要详解|OP|= 根号2](/uploads/image/z/8435889-9-9.jpg?t=13%EF%BC%8E%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E7%82%B9P%E6%98%AF%E7%9B%B4%E8%A7%92%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%B9%B3%E9%9D%A2xOy%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%7COP%7C%3D+%28%E7%82%B9O%E4%B8%BA%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%8E%9F%E7%82%B9%29%2C%E7%82%B9M%28-1%2C0%29%2C%E5%88%99cos+OPM%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4%E6%98%AF%E8%A6%81%E8%AF%A6%E8%A7%A3%7COP%7C%3D+%E6%A0%B9%E5%8F%B72)
13.已知点P是直角坐标平面xOy上的一个动点,|OP|= (点O为坐标原点),点M(-1,0),则cos OPM的取值范围是要详解|OP|= 根号2
13.已知点P是直角坐标平面xOy上的一个动点,|OP|= (点O为坐标原点),点M(-1,0),则cos OPM的取值范围是
要详解
|OP|= 根号2
13.已知点P是直角坐标平面xOy上的一个动点,|OP|= (点O为坐标原点),点M(-1,0),则cos OPM的取值范围是要详解|OP|= 根号2
|OP|=√2;所以设P(√2cosβ,√2sinβ);
∠OPM可以看成是两向量PO与PM的夹角;
向量PO=(-√2cosβ,-√2sinβ);向量PM=(-1-√2cosβ,-√2sinβ)
|PO|=√2;|PM|=√[(-1-√2cosβ)²+(-√2sinβ)²]=√[3+2√2cosβ]
cos∠OPM=向量PO⊙向量PM/(|PO||PM|)=[(-√2cosβ)(-1-√2cosβ)+(-√2sinβ)(-√2sinβ)]/[(√2)×
√(3+2√2cosβ)]=(2+√2cosβ)/[√2×√(3+2√2cosβ)]=(√2+cosβ)/√(3+2√2cosβ)
令t=√(3+2√2cosβ);因为-1≤cosβ≤1;所以√2-1≤t≤√2+1;则t²=3+2√2cosβ; cosβ=(√2/4)t²-3√2/4;
cos∠OPM=(√2+cosβ)/t=(√2+√2t²/4-3√2/4)/t=(√2/4)(1+t²)/t=(√2/4)(t+1/t)
这个关于t的函数在[√2-1,1]上是减函数;在[1,√2+1]上是增函数;
t=1时,函数取到最小值√2/2;
t=√2-1或t=√2+1时,函数取到最大值(√2/4)(2√2)=1;
则cos∠OPM的取值范围是[√2/2,1]