怎么证明刘维尔定理:定理叙述如下:假设u是R^n上的有界调和函数,则u是常数.万分感谢!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 14:00:15
![怎么证明刘维尔定理:定理叙述如下:假设u是R^n上的有界调和函数,则u是常数.万分感谢!](/uploads/image/z/7622975-47-5.jpg?t=%E6%80%8E%E4%B9%88%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%88%98%E7%BB%B4%E5%B0%94%E5%AE%9A%E7%90%86%EF%BC%9A%E5%AE%9A%E7%90%86%E5%8F%99%E8%BF%B0%E5%A6%82%E4%B8%8B%EF%BC%9A%E5%81%87%E8%AE%BEu%E6%98%AFR%5En%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%9C%89%E7%95%8C%E8%B0%83%E5%92%8C%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%88%99u%E6%98%AF%E5%B8%B8%E6%95%B0.%E4%B8%87%E5%88%86%E6%84%9F%E8%B0%A2%21)
怎么证明刘维尔定理:定理叙述如下:假设u是R^n上的有界调和函数,则u是常数.万分感谢!
怎么证明刘维尔定理:定理叙述如下:假设u是R^n上的有界调和函数,则u是常数.万分感谢!
怎么证明刘维尔定理:定理叙述如下:假设u是R^n上的有界调和函数,则u是常数.万分感谢!
任取两点a和b,分别以a和b为球心,R为半径做两个闭球B_a和B_b
当R->+oo时,lim V(B_a\B_b)/V(B_a) = 0 (V表示体积)
也就是说两个球趋于重合
利用调和函数的均值性质,f(a)和f(b)分别是f在B_a和B_b上的平均值,
f在B_a∩B_b上的均值记为u,在B_a\B_b上的均值记为v,在B_b\B_a上的均值记为w
那么f(a) = [V(B_a∩B_b)*u + V(B_a\B_b)*v] / V(B_a)
f(b) = [V(B_a∩B_b)*u + V(B_b\B_a)*w] / V(B_b)
注意V(B_a)=V(B_b),V(B_a\B_b)=V(B_b\B_a),
所以f(a)-f(b)=V(B_a\B_b)/V(B_a) * (v-w)
当R->+oo时V(B_a\B_b)/V(B_a)->0,而(v-w)是有界量,所以f(a)-f(b) ->0,即f(a)=f(b)
用刘维尔定理证明一个积分不可积往往比较困难。用刘维尔第三、第四定理可以证明∫e^(kx )dx(k≠0)、∫e^(kx)/x dx(k≠0)、∫sinx/xdx、∫