f(x)是R上的偶函数,若将f(x)的图像向左平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,若f(2)=2012,则f(1)+f(2)+f(3)+.+f(2012)的值为? 求解
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 02:53:09
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f(x)是R上的偶函数,若将f(x)的图像向左平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,若f(2)=2012,则f(1)+f(2)+f(3)+.+f(2012)的值为? 求解
f(x)是R上的偶函数,若将f(x)的图像向左平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,
若f(2)=2012,则f(1)+f(2)+f(3)+.+f(2012)的值为? 求解
f(x)是R上的偶函数,若将f(x)的图像向左平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,若f(2)=2012,则f(1)+f(2)+f(3)+.+f(2012)的值为? 求解
函数f(x)是偶函数,则:f(-x)=f(x)
又:函数f(x+1)是奇函数,则:f(-x+1)=-f(x+1),即:f(-x)=-f(x+2)=f(x)
则:
-f(x+4)=f(x+2)=-f(x)
即:
f(x+4)=f(x)
函数f(x)的周期是T=4
又:f(x+1)是奇函数,则:f(0+1)=0,得:f(1)=0
f(2)=2012
f(3)=-f(-1)=-f(1)=0
f(4)=-f(-2)=-f(2)=-2012
则:
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0
则:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=503×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0
由“将f(x)的图像向左平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象”可知f(x)关于点(1,0)对称。
下面我们证明f(x)是以4为周期的周期函数:
f(x)=f(-x) (因为f(x)为偶函数)
=-f(x+2) (因为f(x)关于点(1,0)对称)
在f(x)=-f(x+2)中,有x的任意性,将x用x+2替换,可得
f(x+2)=...
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由“将f(x)的图像向左平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象”可知f(x)关于点(1,0)对称。
下面我们证明f(x)是以4为周期的周期函数:
f(x)=f(-x) (因为f(x)为偶函数)
=-f(x+2) (因为f(x)关于点(1,0)对称)
在f(x)=-f(x+2)中,有x的任意性,将x用x+2替换,可得
f(x+2)=-f(x+4)
所以f(x)=f(x+4).
因为f(x)关于点(1,0)对称,
所以f(1)=0
f(3)=f(-1)=f(1)=0
f(4)=f(0)=-f(2)
所以f(1)+f(2)+f(3)+.....+f(2012)=503[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0.
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