设矩阵A=(1 0 0 证明当n≥3时 A^n=A^(n-2)+A^2-E,并求A^100 1 0 1 0 1 0) 希望给出详解,矩阵A的第一行为1 0 第二行为1 0 第三行为0 1 求A^100
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 22:54:07
![设矩阵A=(1 0 0 证明当n≥3时 A^n=A^(n-2)+A^2-E,并求A^100 1 0 1 0 1 0) 希望给出详解,矩阵A的第一行为1 0 第二行为1 0 第三行为0 1 求A^100](/uploads/image/z/6941816-8-6.jpg?t=%E8%AE%BE%E7%9F%A9%E9%98%B5A%3D%EF%BC%881+0+0+%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%BD%93n%E2%89%A53%E6%97%B6+A%5En%3DA%5E%28n-2%29%2BA%5E2-E%2C%E5%B9%B6%E6%B1%82A%5E100+1+0+1+0+1+0%EF%BC%89+%E5%B8%8C%E6%9C%9B%E7%BB%99%E5%87%BA%E8%AF%A6%E8%A7%A3%2C%E7%9F%A9%E9%98%B5A%E7%9A%84%E7%AC%AC%E4%B8%80%E8%A1%8C%E4%B8%BA1+0+%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E8%A1%8C%E4%B8%BA1+0+%E7%AC%AC%E4%B8%89%E8%A1%8C%E4%B8%BA0+1+%E6%B1%82A%5E100)
设矩阵A=(1 0 0 证明当n≥3时 A^n=A^(n-2)+A^2-E,并求A^100 1 0 1 0 1 0) 希望给出详解,矩阵A的第一行为1 0 第二行为1 0 第三行为0 1 求A^100
设矩阵A=(1 0 0 证明当n≥3时 A^n=A^(n-2)+A^2-E,并求A^100 1 0 1 0 1 0) 希望给出详解,
矩阵A的第一行为1 0 第二行为1 0 第三行为0 1 求A^100
设矩阵A=(1 0 0 证明当n≥3时 A^n=A^(n-2)+A^2-E,并求A^100 1 0 1 0 1 0) 希望给出详解,矩阵A的第一行为1 0 第二行为1 0 第三行为0 1 求A^100
用归纳法证明.由
A^2 =
1 0 0
1 1 0
1 0 1
A^3 =
1 0 0
2 0 1
1 1 0
A^4 =
1 0 0
2 1 0
2 0 1
则有:A^3 = A + A^2 - E.( 注意:此时有 A^3 - A = A^2 - E
A^4 = A^2 +A^2 - E.
即 n=3,4时成立.
假设n-1时成立,即 A^(n-1) = A^(n-3) + A^2 - E.
则 A^n = AA^(n-1) = A[A^(n-3) + A^2 - E]
= A^(n-2) + A^3 - A
= A^(n-2) + A^2 - E
即n时命题也成立.
故 A^n = A^(n-2) + A^2 - E 得证.
所以有
A^100 - A^98 = A^2 - E,
A^98 - A^96 = A^2 - E,
A^96 - A^94 = A^2 - E,
.
A^4 - A^2 = A^2 - E,
两端相加得:
A^100 - A^2 = 49(A^2 - E).
所以
A^100 = A^2 + 49(A^2 - E) =
1 0 0
50 1 0
50 0 1