圆内接锐角三角形ABC,分别连接AO、BO、CO交BC、AC、AB于D、E、F,求证1/AD+1/BE+1/CF=2/R,用平面几何知识用平面几何知识解答,急
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 05:34:14
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用平面几何知识解答,急
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证明:分别作三角形ABC和三角形OBC的高AH和OG
则 AH//OG
所以 OD/AD=OG/AH
因为 三角形OBC的面积/三角形ABC的面积=OG/AH
所以 三角形OBC的面积/三角形ABC的面积=OD/AD
同理 三角形OAC的面积/三角形ABC的面积=OE/BE
三角形OAB的面积/三角形ABC的面积=OF/CF
三式相加可得:OD/AD+OE/BE+OF/CF=1
因为 OD/AD=(AD--AO)/AD=1--AO/AD
OE/BE=1--BO/BE
OF/CF=1--CO/CF
所以 (1--AO/AD)+(1--BO/BE)+(1--CO/CF)=1
即:AO/AD+BO/BE+CO/CF=2
因为AO=BO=CO=R
所以 R/AD+R/BE+R/CF=2
即:1/AD+1/BE+1/CF=2/R.
如图,过A作三角形ABC的高h,过o作三角形BOC的高h1,OA=OB=OC=R,设△ABC、△BCO、△ACO和△ABO的面积分别为S、S1、S2和S3, ∵AM‖ON, ∴△ADM∽△ODN, 即有AD/AM=DO/ON=(AD-AO)/h1 =>h1/h=1-R/AD ∴S1/S=h1/h=1-R/AD ...① 同理可得 S2/S=1-R/BE ...② S3/S=1-R/CF ...③ ①+②+③得(S1+S2+S3)/S=3-(R/AD+R/BE+R/CF) 又∵S1+S2+S3=S ∴ R/AD+R/BE+R/CF=3-1=2 1/AD+1/BE+1/CF=2/R 证毕
这也太简单了 两边乘R 用面积法