设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.2012年全国卷理科数学第20题.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 18:07:47
![设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.2012年全国卷理科数学第20题.](/uploads/image/z/6715466-26-6.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dax%2Bcosx%2Cx%E2%88%88%5B0%2C%CF%80%5D.%28%E2%85%A0%29%E8%AE%A8%E8%AE%BAf%28x%29%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7%EF%BC%9B+%28%E2%85%A1%29%E8%AE%BEf%28x%29%E2%89%A41%2Bsinx%2C%E6%B1%82a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.2012%E5%B9%B4%E5%85%A8%E5%9B%BD%E5%8D%B7%E7%90%86%E7%A7%91%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%AC%AC20%E9%A2%98.)
设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.2012年全国卷理科数学第20题.
设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.
2012年全国卷理科数学第20题.
设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.2012年全国卷理科数学第20题.
(1)f'(x)=a-sinx,x∈[0.π]
sinx∈[0,π];当a=0恒成立,f(x)单调递增;
当0
f'(x)=a-sinx
若a≥1,则函数单增
若a≤0,则函数单减
若0x=arcsina
则x∈[arcsina,π-arcsina]函数单减
其他函数单增
f(x)≤1+sinx
ax+cosx≤1+sinx
ax≤(1+sinx-cosx)=1+√2sin(x-π/4)
x...
全部展开
f'(x)=a-sinx
若a≥1,则函数单增
若a≤0,则函数单减
若0x=arcsina
则x∈[arcsina,π-arcsina]函数单减
其他函数单增
f(x)≤1+sinx
ax+cosx≤1+sinx
ax≤(1+sinx-cosx)=1+√2sin(x-π/4)
x=0时,a可以为任何值
x≠0时
a≤[1+√2sin(x-π/4)]/x
这个难道用大学的导数来求?
收起
(II)ax+cosx<=1+sinx => ax+1<=sinx-cosx =sqrt(2)sin(x-pi/4)
画图,容易看出,两交点为(0,-1)和(pi,1)=> a<=2/pi.