在三角形ABC中,AB=AC=6,P为BC上任意一点,请用学过知识试求PC乘与PB+pa二次方的值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 16:09:59
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在三角形ABC中,AB=AC=6,P为BC上任意一点,请用学过知识试求PC乘与PB+pa二次方的值
在三角形ABC中,AB=AC=6,P为BC上任意一点,请用学过知识试求PC乘与PB+pa二次方的值
在三角形ABC中,AB=AC=6,P为BC上任意一点,请用学过知识试求PC乘与PB+pa二次方的值
作图可得
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴cosB=cosC
可用余弦定理
PA²=36+PB²-12PBcosC
-12cosC=(PA²-36-PB²)/PB
PA²=36+PC²-12PCcosB
-12cosB=(PA²-36-PC²)/PC
(PA²-36-PB²)/PB=(PA²-36-PC²)/PC
PC×PA²-36PC-PC×PB²=PB×PA²-36PB-PB×PC²
(PC-PB)PA²-(PC-PB)36-(PB-PC)PCPB=0
PC×PB+PA²=36
由题意可知此为一定值,将此三角形视为等边三角形,p为bc中点,可得此值为108+54*(3)^(1/2)
PA²=36+PB²-12PBcosC
-12cosC=(PA²-36-PB²)/PB
PA²=36+PC²-12PCcosB
-12cosB=(PA²-36-PC²)/PC
(PA²-36-PB²)/PB=(PA²-36-PC²)/PC
PC×PA²-36PC-PC×PB²=PB×PA²-36PB-PB×PC²
(PC-PB)PA²-(PC-PB)36-(PB-PC)PCPB=0
PC×PB+PA²=36
过点AO⊥BC。 ∵AC=AC=6 ∴BO=CO
∴三角形APO为直角三角形,三角形AOC为直角三角形,由勾股定理得:
PC×PB+PA²
=(CO+OP)(CO-OP)+PA²
=CO²-OP²+PA²
=PA²-OP²+CO²
=AO²+CO²
=AC²
=36