一道立体几何题目五面体A-BCC1B1中,AB1=4,底面ABC是正三角形,AB=2,四边形BCC1B1是矩形,二面角A-BC-C1是直二面角.求证:(1)D为AC中点时,AB1与平面BDC1平行.(2)求二面角C-BC1-D的余弦值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 15:32:16
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一道立体几何题目五面体A-BCC1B1中,AB1=4,底面ABC是正三角形,AB=2,四边形BCC1B1是矩形,二面角A-BC-C1是直二面角.求证:(1)D为AC中点时,AB1与平面BDC1平行.(2)求二面角C-BC1-D的余弦值
一道立体几何题目
五面体A-BCC1B1中,AB1=4,底面ABC是正三角形,AB=2,四边形BCC1B1是矩形,二面角A-BC-C1是直二面角.
求证:(1)D为AC中点时,AB1与平面BDC1平行.
(2)求二面角C-BC1-D的余弦值
一道立体几何题目五面体A-BCC1B1中,AB1=4,底面ABC是正三角形,AB=2,四边形BCC1B1是矩形,二面角A-BC-C1是直二面角.求证:(1)D为AC中点时,AB1与平面BDC1平行.(2)求二面角C-BC1-D的余弦值
(1)连接BC1和B1C,交于点O.连接DO.
D为AC中点,O为B1C中点.三角形AB1C中DO为中位线平行于AB1.又DO 在平面BDC1中,所以命题得证.
(2)由面积求余弦:
由三垂线定理,C1D垂直于BD.则三角形BDC1面积=1/2*BD*DC1
过D做DD'垂直于BC于D',则DD'垂直于面BCC1B1.所以三角形BD'C1是三角形BDC1在面BCC1B1上的投影.其面积=1/2*C1C*BD'.
求各段长度:
取E1,E分别为B1C1和BC的中点.AB1=AC1(全等可证,对称可证,此处略)所以AE1垂直B1C1.勾股定理得AE1=√15(没根号就拿对勾吧).
直角三角形AE1E(AEE1=90°直二面角)中AE=√3,所以EE1=2√3.即BB1=CC1=2√3.BD'=3/4*BC=3/2.三角形C1CD中C1D=√13.
代入面积然后做比得:
余弦值=(1/2*3/2*√3)/(1/2*√13√3)=(3√13)/13(汗……这么不整,是不是算错了?)