任意以2π为周期的函数用三角级数表示的可能性请问任意一个定义在R上周期为2π的函数是否都可以展开成一个处处收敛的三角级数,回答者最好能提供相应的文献资料,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 12:42:50
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任意以2π为周期的函数用三角级数表示的可能性请问任意一个定义在R上周期为2π的函数是否都可以展开成一个处处收敛的三角级数,回答者最好能提供相应的文献资料,
任意以2π为周期的函数用三角级数表示的可能性
请问任意一个定义在R上周期为2π的函数是否都可以展开成一个处处收敛的三角级数,回答者最好能提供相应的文献资料,
任意以2π为周期的函数用三角级数表示的可能性请问任意一个定义在R上周期为2π的函数是否都可以展开成一个处处收敛的三角级数,回答者最好能提供相应的文献资料,
看了半天没明白你到底知道哪些又想问什么
有关 Fourier 级数的基本问题一般都能在 Zygmund 的两卷书里找到
Antoni Zygmund, Trigonometric series, Vol. I, II
简单解释一下你问的问题
1. "定义在R上周期为2π的函数是否都可以展开成一个处处收敛的三角级数"
显然完全没有希望.暂且不论展开式是否收敛到原来的函数,可以展开的函数至少也要足够的连续性(事实上是可积性),随便找一个不可积函数就可以了.
如果要考虑收敛性,注意 Fourier 级数是连续函数的极限,最多只能收敛到第一类 Baire 函数,对于更高的 Baire 函数类不可能指望其 Fourier 级数(假定存在)收敛到本身.
2. "Σsin(nx)/ln(n)处处收敛但不是任何一个可和函数的傅里叶级数"
假定其 Lebesgue 可积,那么该函数的展开式是唯一的,对它做 Lebesgue 意义的不定积分
F(x)=int_0^x Σsin(nx)/ln(n) dx
cos(nx)项的系数是 1/[nln(n)]
由于 F(x) 一定绝对连续,利用 Jordan 判别法知其 Fourier 级数处处收敛,但显然 x=0 处不收敛.
3. 估计你还想要这两个结论(非常难证)
对于p>1,L^p 中函数的 Fourier 级数几乎处处收敛
Kolmolgorov 构造了 L^1 中的函数,其 Fourier 级数处处发散