若两个m*n阶矩阵A,C的行向量都是同一个齐次线性方程组的基础解系,则存在m阶可逆矩B,使得A=BC.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 16:45:45
![若两个m*n阶矩阵A,C的行向量都是同一个齐次线性方程组的基础解系,则存在m阶可逆矩B,使得A=BC.](/uploads/image/z/5388220-28-0.jpg?t=%E8%8B%A5%E4%B8%A4%E4%B8%AAm%2An%E9%98%B6%E7%9F%A9%E9%98%B5A%2CC%E7%9A%84%E8%A1%8C%E5%90%91%E9%87%8F%E9%83%BD%E6%98%AF%E5%90%8C%E4%B8%80%E4%B8%AA%E9%BD%90%E6%AC%A1%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84%E7%9A%84%E5%9F%BA%E7%A1%80%E8%A7%A3%E7%B3%BB%2C%E5%88%99%E5%AD%98%E5%9C%A8m%E9%98%B6%E5%8F%AF%E9%80%86%E7%9F%A9B%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97A%3DBC.)
若两个m*n阶矩阵A,C的行向量都是同一个齐次线性方程组的基础解系,则存在m阶可逆矩B,使得A=BC.
若两个m*n阶矩阵A,C的行向量都是同一个齐次线性方程组的基础解系,则存在m阶可逆矩B,使得A=BC.
若两个m*n阶矩阵A,C的行向量都是同一个齐次线性方程组的基础解系,则存在m阶可逆矩B,使得A=BC.
设A的行向量为a1,a2,a3,...,am
C的行向量为c1,c2,c3,..,cm
由于C是基础解系,而A是方程组的解,所以向量组{a1,...,am}可由向量组{c1,c2,...,cm}表出,一个具体的说,就是存在系数k(i,j)使得
a1 = k(1,1)* c1 + k(1,2) * c2 + ...+ k(1,m) * cm
...
am = k(m,1) * c1 + k(m,2) * c2 + ...+ k(m,m) * cm
令m阶矩阵B = (k(i,j)),就满足A = BC.
A 和C的地位是对称的,同理也存在m阶矩阵D 使得C = DA
所以A = BC = (BD) A
由于A是基础解系,行向量线性无关,所以只能有BD = I(即单位阵)
这就说明了B是可逆的.
这是补充说明,仅供参考. 设A的行向量的转置向量的集合是{ a_i } ,C 的 行向量的转置向量的集合是{ c_i },则 { a_i }和{ c_i }同为K^n的某个m维子空间U的基.分别用alpha , gamma 表示与矩阵A',C' (一撇是转置)对应的,从K^m到K^n的线性映射,则他们都给出了 K^m 和 U 之间的同构.从下面这张交换图中可以看出 与B'对应的线性变换 beta 的结构,显然 映射 beta 是可逆且唯一的.