若α、β∈(π/2,π),且tanα<cotβ,则必有则必有α+β<3π/2,为什么?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 15:26:32
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若α、β∈(π/2,π),且tanα<cotβ,则必有则必有α+β<3π/2,为什么?
若α、β∈(π/2,π),且tanα<cotβ,则必有
则必有α+β<3π/2,为什么?
若α、β∈(π/2,π),且tanα<cotβ,则必有则必有α+β<3π/2,为什么?
郭敦顒回答:
α+β<3π/2=270°
当α=β=135°时,tanα= cotβ=-1
当90°<α<135°时,tanα<-1,tanα<cotβ成立,
此时,α+β<3π/2成立;
当α=135°,90°<β<135°时,cotβ>-1,tanα<cotβ成立,
此时,α+β<3π/2成立.
以上结论为特例.
一般地,若0<θ<90°,则
tan(90°+θ)=-cotθ=-tan(90°-θ)
cot(90°+θ)=-tanθ,
∵α,β∈(π/2,π)
当tanα= cotβ时,设α=(90°+θ),则β=180°-θ,α+β=270°.
当tanα= tan(90°+θ),cot(180°-θ)>cotβ,tanα<cotβ成立,
则α=(90°+θ),180°-θ>β>90°,
∴α+β<3π/2成立;
当cotβ=cot(180°-θ),tanα<tan(90°+θ)时,
则β=180°-θ,90°<α<(90°+θ),
∴α+β<3π/2成立.
综上,当tanα<cotβ时,总有α+β<3π/2.
首先,a,b属于(π/2,π), 于是tan(a)和tan(b)都小于0.并且a+b 属于(π,2π).
再由tan(a)
再由tan(a)tan(b) = 1- (tan(a)+tan(b))/tan(a+b)可知
(tan(a)+tan(b))/tan(a+b) < 0....
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首先,a,b属于(π/2,π), 于是tan(a)和tan(b)都小于0.并且a+b 属于(π,2π).
再由tan(a)
再由tan(a)tan(b) = 1- (tan(a)+tan(b))/tan(a+b)可知
(tan(a)+tan(b))/tan(a+b) < 0.
由于tan(a)和tan(b)都<0 所以tan(a)+tan(b)<0, 于是tan(a+b)>0
对于a+b属于(π,2π),tan(a+b)>0的区间范围是(a+b)属于(π,3π/2) 即a+b<3π/2.
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