函数f(x)在[1,2]有二阶导数,f(2)=0,F(x)=(x-1)²f(x).则f``(x)在[1,2]上是否有零点?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 16:27:50
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函数f(x)在[1,2]有二阶导数,f(2)=0,F(x)=(x-1)²f(x).则f``(x)在[1,2]上是否有零点?
函数f(x)在[1,2]有二阶导数,f(2)=0,F(x)=(x-1)²f(x).则f``(x)在[1,2]上是否有零点?
函数f(x)在[1,2]有二阶导数,f(2)=0,F(x)=(x-1)²f(x).则f``(x)在[1,2]上是否有零点?
F(x)在[1,2]上连续,(1,2)内可导且F(1)=F(2)
由罗尔定理,至少存在一点x.∈(1,2],使F`(x.)=0,
又F`(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)²f`(x).则F`(x.)=F`(1)
则,F`(x)在[1,x.]上满足罗尔定理条件,
所以,至少存在x`∈(1,x.)∈(1,2)上使F``(x`)=0,
所以至少存在一个零点
有零点。
简证:第一步,对F(x)在[1,2]上用罗尔定理,可得,
至少存在一点ξ属于(1,2),使得F′(ξ)=0;
第二步,注意到F′(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)(x-1)f′(x),
F′(1)= F′(ξ)=0,
对F′(x)在[1, ξ]上用罗尔定理,可得,
至少存在一点η属于(1,ξ)含于(1,2)含于[1,2],使得F′′(...
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有零点。
简证:第一步,对F(x)在[1,2]上用罗尔定理,可得,
至少存在一点ξ属于(1,2),使得F′(ξ)=0;
第二步,注意到F′(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)(x-1)f′(x),
F′(1)= F′(ξ)=0,
对F′(x)在[1, ξ]上用罗尔定理,可得,
至少存在一点η属于(1,ξ)含于(1,2)含于[1,2],使得F′′(η)=0。证毕。
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