是否存在锐角α,β,使得①α+2β=2派/3,②tan(α/2)tanβ=2-根号3同时成立?若存在,求出α和β的值,若不存在,请说明理由
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 04:08:32
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是否存在锐角α,β,使得①α+2β=2派/3,②tan(α/2)tanβ=2-根号3同时成立?若存在,求出α和β的值,若不存在,请说明理由
是否存在锐角α,β,使得①α+2β=2派/3,②tan(α/2)tanβ=2-根号3同时成立?若存在,求出α和β的值,若不存在,请说明理由
是否存在锐角α,β,使得①α+2β=2派/3,②tan(α/2)tanβ=2-根号3同时成立?若存在,求出α和β的值,若不存在,请说明理由
①整理,得:
α/2+β=pi/3 *(pi为派)
∴cos(α/2+β)=1/2
即:cosα/2*cosβ-sinα*sinβ=1/2 ⑴
②整理,得:
(sinα/2*sinβ)/(cosα/2*cosβ)=2-根号3
即:sinα/2*sinβ=(2-根号3)cosα/2*cosβ ⑵
联立⑴⑵,得:
cosα/2*cosβ=(根号3+1)/4 ⑶
sinα/2*sinβ=(根号3-1)/4 ⑷
∵cosα/2的平方+sinα/2的平方=1
cosβ的平方+sinβ的平方=1
∴⑶可整理为:
(1-sinα/2的平方)*(1-sinβ的平方)=(根号3+1)/4的平方⑸
联立⑷⑸,得:
sinβ=根号2/2 sinα=(根号6-根号2)/4
∴β=45° α=15°
注意:联立⑷⑸ 部分的计算较复杂,需仔细计算
sin15°=(根号6-根号2)/4 为有用结论,为方便以后 计算,可记下来
a+2b=120
tan(a/2)*tanb=2-√3
tan(60-b)*tanb=2- √3
(√3-tanb)/(1+ √3 tanb)*tanb=2-√3
解得tanb=1或tanb=2-√3
b=45或15度
a=15度或45
故存在。