油管铺设某石化公司要铺设一根石油管道,将石油从炼油厂输送到河对岸的石油灌装点,如图所示.炼油厂附近有条宽2.5km的河,灌装点在炼油厂对岸沿河下游10km处.如果在水中铺设管道的费用为6
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 01:00:44
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油管铺设某石化公司要铺设一根石油管道,将石油从炼油厂输送到河对岸的石油灌装点,如图所示.炼油厂附近有条宽2.5km的河,灌装点在炼油厂对岸沿河下游10km处.如果在水中铺设管道的费用为6
油管铺设
某石化公司要铺设一根石油管道,将石油从炼油厂输送到河对岸的石油灌装点,如图所示.炼油厂附近有条宽2.5km的河,灌装点在炼油厂对岸沿河下游10km处.如果在水中铺设管道的费用为6万元/km,在河边铺设管道的费用为4万元/km,试在河边找一点p,使管道铺设费最低.
油管铺设某石化公司要铺设一根石油管道,将石油从炼油厂输送到河对岸的石油灌装点,如图所示.炼油厂附近有条宽2.5km的河,灌装点在炼油厂对岸沿河下游10km处.如果在水中铺设管道的费用为6
如上图铺设管道.
设:P点位于炼油厂下游x(km)处,0≤x≤10.铺设的总费用是y万元.
依题意和已知,有:
y=4x+6√[2.5²+(10-x)²]
y=4x+6√(x²-20x+106.25)
y'=4+3(2x-20)/√(x²-20x+106.25)
y'=[4√(x²-20x+106.25)+6x-60]/√(x²-20x+106.25)
1、令:y'>0,即:[4√(x²-20x+106.25)+6x-60]/√(x²-20x+106.25)>0
有:2√(x²-20x+106.25)+3x-30>0
30-3x<2√(x²-20x+106.25)
9x²-180x+900<4(x²-20x+106.25)
x²-20x+95<0
(x-10)²<5
10-√5<x<10+√5
因为:0≤x≤10,
所以:当10-√5<x≤10时,y是单调增函数;
2、令:y'<0,即:[4√(x²-20x+106.25)+6x-60]/√(x²-20x+106.25)<0
有:2√(x²-20x+106.25)+3x-30<0
30-3x>2√(x²-20x+106.25)
9x²-180x+900>4(x²-20x+106.25)
x²-20x+95>0
(x-10)²>5
x>10+√5,或:x<10-√5
因为:0≤x≤10,
所以:当0≤x<10-√5时,y是单调减函数;
综上所述,有:
当x=10-√5(km)≈7.7639km时,y有极小值.
y极小=4(10-√5)+6√[(10-√5)²-20×(10-√5)+106.25]
=40-4√5+6√11.25
≈51.1803(万元)
答:当p点位于下游约7.7639km处时,所需费用最低.费用约是51.1803万元.