设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积是多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 22:03:46
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设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积是多少?
设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积是多少?
设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积是多少?
首先,从平面几何的知识点进行推广.平几中某图形一旦存在外接圆,则其存在一个外心,与外接圆圆心重合,其性质为到每个顶点的距离相等且为外接圆半径.
推广到立几,我们不妨也把立体图形的外接球体的球心称作该立体图形的外心,则我们得到一个同样的性质:此立体图形的外心到每个顶角的距离相等.于是题目简化为求一点,使得该点到此直三棱柱的顶角距离相等,并求出此距离.
仅讨论直三棱柱的某一个三角形底面ABC,那么在立体空间中,到A,B,C三点距离相等的点在一条垂直于三角形ABC所在平面的直线上,且经过三角形ABC的外心.
考虑整个直三棱柱,可以很直观地证明出存在一个点O,到此直三棱柱的六个顶角距离相等,并且令D,D'分别为正三角形ABC,正三角形A’B‘C’的外心.则点O为直线DD‘的中点.
现在做M,N,P分别为AA’,BB‘,CC’的中点,则三角形MNP也为一个边长为a的正三角形,且点O在形内,并且有:
AM=a/2;MO=(√3)a/3(正三角形四心合一,垂线长度为(√3)a/2,外心在2/3处,所以为
((√3)a/2)*(2/3)=(√3)a/3).于是通过勾股可得AO^2=AM^2+MO^2(角AMO明显为直角),于是得到:
AO=√【(a^2)/4)+(a^2)/3)】=(√21)a/6,这就是球体的半径.
由球体表面积公式可得:
S=4*π*R^2 =4*π*(21a^2)/36=(7*π*a^2)/3=7.33a^2 (π取3.14).