高二数学最值已知f(x)=(logx-1)/(logx+1),f(x1)+f(2*x2)=1(x1、x2均大于10),求f(x1*x2)最小值底数10 求救,感谢热心人
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 02:12:15
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高二数学最值已知f(x)=(logx-1)/(logx+1),f(x1)+f(2*x2)=1(x1、x2均大于10),求f(x1*x2)最小值底数10 求救,感谢热心人
高二数学最值
已知f(x)=(logx-1)/(logx+1),f(x1)+f(2*x2)=1(x1、x2均大于10),求f(x1*x2)最小值
底数10
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高二数学最值已知f(x)=(logx-1)/(logx+1),f(x1)+f(2*x2)=1(x1、x2均大于10),求f(x1*x2)最小值底数10 求救,感谢热心人
先对f(x)求导 自己算不麻烦!由于x>0 所以 f'(x)恒为正 即f(x)在定义域上是增函数
所以要求f(x1*x2)最小值 就是 x1*x2 的最小值
f(x1)+f(2*x2)=1 用f(x)的解析式代入,左边通分(看上去很复杂,其实分子消掉4项),分数是等于1的,得
lgx1*lg(2*x2)=lgx1+lg(2*x2)+3
为了看得更加清楚
换元 即ab=a+b+3 那么a+b>=6 (用基本不等式解的)
就是说 lgx1+lg(2*x2)>=6 即 x1*2*x2>=10^6 当且仅当 x1=10^3 x2=10^3/2
那么f(x1*x2)最小值就是f(10^6/2)=(5-lg2)/(7-lg2)
logx-1是啥意思?对数都不分底数和真数!
f(x1)+f(2*x2)=(lgx1-1)/(lgx1+1)+(lgx2-1)/(lgx2+1)=1
lgx1=(lgx1+3)/(lgx1-1)
lg(x1x2)=lgx1+lgx2=4/(lg2x2-1)+(lg2x2-1)+2-lg2>=6-lg2当且仅当lg2x2=3
f(x1*x2)=(lg(x1x2)-1)/(lg(x1x2)+1)=1-2/(lg(x1x2)+1)=(5-lg2)/(7-lg2)
如图