若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为根号3,则其内切球的表面积是多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 17:47:50
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若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为根号3,则其内切球的表面积是多少?
若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为根号3,则其内切球的表面积是多少?
若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为根号3,则其内切球的表面积是多少?
利用等体积法解此题.
设内切球的半径为r,球心为O.
已知AB=AC=AD=√3,且AB、AC、AD两两垂直,
所以三棱锥的体积V=1/3•3/2•√3=√3/2.
又BC=CD=DB=√6,
则S△BCD=3√3/2,S△ABC=S△ABD=S△ACD=1/2•3=3/2.
根据图形知:三棱锥A-BCD的体积V=三棱锥O-ABC的体积+三棱锥O-ABD的体积+
三棱锥O-ACD的体积+三棱锥O-BCD的体积(这几个小三棱锥的高都是r)
即√3/2=1/3•3/2•r+1/3•3/2•r+1/3•3/2•r+1/3•3√3/2•r
解得r=(√3-1)/2,
内切球的表面积=4πr²=(4-2√3)π.
想象一下,从锥顶看,球心在地面的投影必为三角形内心(由题意,地面为正三角形),过追顶向地面做垂线必过球心,从球心向锥的三个侧面做垂线,连接球心与锥顶,易得,球心与锥顶的距离为球的半径的根号3倍(相当于一个正方体的边长与体对角线的关系,容易想象吧),所以锥顶向底面的距离为球的半径的(1+根号3)倍,易得,锥顶向底面的距离为1(把锥补成正方体,易得),所以半径可以所出来,表面积为4*pi*r*r4*p...
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想象一下,从锥顶看,球心在地面的投影必为三角形内心(由题意,地面为正三角形),过追顶向地面做垂线必过球心,从球心向锥的三个侧面做垂线,连接球心与锥顶,易得,球心与锥顶的距离为球的半径的根号3倍(相当于一个正方体的边长与体对角线的关系,容易想象吧),所以锥顶向底面的距离为球的半径的(1+根号3)倍,易得,锥顶向底面的距离为1(把锥补成正方体,易得),所以半径可以所出来,表面积为4*pi*r*r
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