高中三角函数证明题在锐角三角形ABC中,证明:sin(A-B)*sin(A-C)/sin2A + sin(B-A)*sin(B-C)/sin2B + sin(C-A)*sin(C-B)/sin2C ≥0.题目就是这样,一道高中竞赛题吧.我不赶时间,希望知道的大虾们能写下详细的过程,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 02:52:54
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高中三角函数证明题在锐角三角形ABC中,证明:sin(A-B)*sin(A-C)/sin2A + sin(B-A)*sin(B-C)/sin2B + sin(C-A)*sin(C-B)/sin2C ≥0.题目就是这样,一道高中竞赛题吧.我不赶时间,希望知道的大虾们能写下详细的过程,
高中三角函数证明题
在锐角三角形ABC中,证明:
sin(A-B)*sin(A-C)/sin2A + sin(B-A)*sin(B-C)/sin2B + sin(C-A)*sin(C-B)/sin2C ≥0.
题目就是这样,一道高中竞赛题吧.我不赶时间,希望知道的大虾们能写下详细的过程,感激不尽.
高中三角函数证明题在锐角三角形ABC中,证明:sin(A-B)*sin(A-C)/sin2A + sin(B-A)*sin(B-C)/sin2B + sin(C-A)*sin(C-B)/sin2C ≥0.题目就是这样,一道高中竞赛题吧.我不赶时间,希望知道的大虾们能写下详细的过程,
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过程十分长,如果你给多点分,我可以全写下来。
不过大致思路是这样:
先利用积化和差和其他三角公式,把三个式子分别化成:
sin(A-B)*sin(A-C)/sin2A=cosBcosCsinA/(2cosA)-(sinA)/2+sinBsinCcosA/(2sinA)
sin(B-A)*sin(B-C)/sin2B=cosAcosCsinB/(2cosB)-(sin...
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过程十分长,如果你给多点分,我可以全写下来。
不过大致思路是这样:
先利用积化和差和其他三角公式,把三个式子分别化成:
sin(A-B)*sin(A-C)/sin2A=cosBcosCsinA/(2cosA)-(sinA)/2+sinBsinCcosA/(2sinA)
sin(B-A)*sin(B-C)/sin2B=cosAcosCsinB/(2cosB)-(sinB)/2+sinAsinCcosB/(2sinB)
sin(C-A)*sin(C-B)/sin2C=cosAcosBsinC/(2cosC)-(sinC)/2+sinAsinBcosC/(2sinC)
因此,所证不等式化为:
∑(sinAsinBcosC/sinC+cosAcosBsinC/cosC)≥sinA+sinB+sinC ①
(其中,∑表示循环求和,例如对a,b,c,∑ab=ab+bc+ac)
然后设x=cotA,y=cotB,z=cotC,则∑xy=1
再利用:sinA=1/根号(1+x²),sinB=1/根号(1+y²),sinC=1/根号(1+z²)
以及1=∑xy化数方法化简①式,可得:
∑(x²+yz)/[x根号(y+z)]≥∑根号(y+z) 这一对称式
所以可设:x≥y≥z
又因为:(x²+yz)/[x根号(y+z)]-根号(y+z)=(x-y)(x-z)/[x根号(y+z)]
所以只需证:
∑(x-y)(x-z)/[x根号(y+z)]≥0
由x≥y≥z,知此式显然成立
综上,所证不等式成立。
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