一道勾股定理题△ABC为Rt△,∠C=90`,S△ABO=S△BCO=S△CAO,求证:OA²+OB²=5OC²
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 06:10:14
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一道勾股定理题△ABC为Rt△,∠C=90`,S△ABO=S△BCO=S△CAO,求证:OA²+OB²=5OC²
一道勾股定理题
△ABC为Rt△,∠C=90`,S△ABO=S△BCO=S△CAO,求证:OA²+OB²=5OC²
一道勾股定理题△ABC为Rt△,∠C=90`,S△ABO=S△BCO=S△CAO,求证:OA²+OB²=5OC²
分别做:OE,OF,OG垂直于AC,BC,AB(请自己在图上表出,我不能上传图片)
因为:S△ABO=S△BCO=S△CAO
所以:S△ABC=3S△BCO=3S△CAO
又因为:2S△ABC=AC*CB
2S△BCO=OF*CB
2S△CAO=AC*OE
所以:AC*CB=3OF*CB=3AC*OE
所以:AC=3OF
CB=3OE
即:E,F分别是AC,CB的三等分点
所以:OA²+OB²=(OE²+AE²)+(OF²+FB²)=[OE²+(2OF)²)+[OF²+(2OE)²]=5(OF²+OE²)
=5(OF²+FC²)=5OC²
所以上式得证
延长AO、BO、CO分别交BC、AC、AB于D、E、F。作OM⊥BC与M,ON⊥AC于N。
则AE:EC×CD:DB×BF/FA=1
可知AE:EC=S△AOB:S△BOC=1
CD:DB=S△AOC:S△AOB=1
∴BF=FA
同理得BD=DC
∴O为△ABC的重心
∴BM=2CM
AN=2CN
OA2+OB2=AN2+ON2+OM2+MB2
=5OC2
如图,延长AO、BO、CO分别交BC、AC、AB于D、E、F。作OM⊥BC与M,ON⊥AC于N。 则AE/EC×CD/DB×BF/FA=1 易知AE/EC=S△AOB/S△BOC=1 CD/DB=S△AOC/S△AOB=1 ∴BF=FA 同理得BD=DC ∴O为△ABC的重心 ∴BM=2CM AN=2CN OA²+OB²=AN²+ON²+OM²+MB² =5OC²
如图,延长AO、BO、CO分别交BC、AC、AB于D、E、F。作OM⊥BC与M,ON⊥AC于N。 则AE/EC×CD/DB×BF/FA=1 易知AE/EC=S△AOB/S△BOC=1 CD/DB=S△AOC/S△AOB=1 ∴BF=FA 同理得BD=DC ∴O为△ABC的重心 ∴BM=2CM AN=2CN OA²+OB²=AN²+ON²+OM²+MB² =5OC² 延长AO、BO、CO分别交BC、AC、AB于D、E、F。作OM⊥BC与M,ON⊥AC于N。 则AE:EC×CD:DB×BF/FA=1 可知AE:EC=S△AOB:S△BOC=1 CD:DB=S△AOC:S△AOB=1 ∴BF=FA 同理得BD=DC ∴O为△ABC的重心 ∴BM=2CM AN=2CN OA2+OB2=AN2+ON2+OM2+MB2 =5OC2 分别做:OE,OF,OG垂直于AC,BC,AB(请自己在图上表出,我不能上传图片) 因为:S△ABO=S△BCO=S△CAO 所以:S△ABC=3S△BCO=3S△CAO 又因为:2S△ABC=AC*CB 2S△BCO=OF*CB 2S△CAO=AC*OE 所以:AC*CB=3OF*CB=3AC*OE 所以:AC=3OF CB=3OE 即:E,F分别是AC,CB的三等分点 所以:OA²+OB²=(OE²+AE²)+(OF²+FB²)=[OE²+(2OF)²)+[OF²+(2OE)²]=5(OF²+OE²) =5(OF²+FC²)=5OC² 所以上式得证