方程x-1=lgx必有一个根的区间是 A(0.1,0.2)B(0.2,0.3)C(0.3,0.4)D(0.4,0.5),求详解.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 15:32:28
![方程x-1=lgx必有一个根的区间是 A(0.1,0.2)B(0.2,0.3)C(0.3,0.4)D(0.4,0.5),求详解.](/uploads/image/z/3136036-4-6.jpg?t=%E6%96%B9%E7%A8%8Bx-1%3Dlgx%E5%BF%85%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%A0%B9%E7%9A%84%E5%8C%BA%E9%97%B4%E6%98%AF+A%280.1%2C0.2%29B%280.2%2C0.3%29C%280.3%2C0.4%29D%280.4%2C0.5%29%2C%E6%B1%82%E8%AF%A6%E8%A7%A3.)
方程x-1=lgx必有一个根的区间是 A(0.1,0.2)B(0.2,0.3)C(0.3,0.4)D(0.4,0.5),求详解.
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1.原方程式变形为10^(x-1)=x,我们令y₁=10^(x-1)=10^x/10,y₂=x,这样就成了两个函数的交点问题,画图得知(y₁为指数函数),(一曲一直)肯定有两个交点,一个在﹙0,1﹚之间,另一个就是x=1;且y₁、y₂都是单调递增.
2.当x∈(0.1,0.2)时,y₁∈﹙10^0.1/10,10^0.2/10﹚,y₂∈(0.1,0.2),如果此时y₁、y₂的范围有交集,那么就肯定能取到一个x₁∈﹙0.1,0.2﹚,使得y₁=y₂,那么x₁就是原方程的另一个解.而y₁与y₂有交集,只需要10^0.2/10>0.1即可.
3.现在来比较10^0.2/10与0.1的大小,0.1=1/10=10º/10,10^0.2>10º(底数大于1的指数函数单调递增),故10^0.2/10>10º/10,故此时y₁、y₂有交集,那么原方程另一根必在﹙0.1,0.2﹚之间.故选A.
4.当x∈(0.2,0.3)时,y₁∈(10^0.2/10,10^0.3/10),y₂∈(0.2,0.3),那么同理,
10^0.3/10=[10^(3/10)] /10,10的3/10次方等于10次根号下10的3次方(=1000)
(这点很关键,在草稿纸上画画);
而0.2=2/10,2可以看作10次根号下2的10次方(=1024),
所以0.2>10^0.3/10,即y₂恒大于y₁,因此此时y₁、y₂没有交集,那么原方程在此区间无根.故B错.
5.y₁、y₂均为单调递增函数,第一根在区间﹙0.1,0.2﹚内,另一根为x=1,而在区间﹙0.2,0.3﹚时,y₂就恒大于y₁,故在区间﹙0.3,1﹚内,y₂都将恒大于y₁,即不可能有交集,故C、D错.(一定要画图,即形象又好理解)
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3.现在来比较10^0.2/10与0.1的大小,0.1=1/10=10º/10,10^0.2>10º(底数大于1的指数函数单调递增),故10^0.2/10>10º/10,故此时y₁、y₂有交集,那么原方程另一根必在﹙0.1,0.2﹚之间。故选A。