在一个房间里,地板是长方形的,由正方形的小格子拼成,在地板左下角和右上角各有一个老鼠洞.一天晚上,老鼠从其中的一个洞直线跑到另一个洞(也就是对角线).问:老鼠经过了多少个格子?(设
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 11:52:11
![在一个房间里,地板是长方形的,由正方形的小格子拼成,在地板左下角和右上角各有一个老鼠洞.一天晚上,老鼠从其中的一个洞直线跑到另一个洞(也就是对角线).问:老鼠经过了多少个格子?(设](/uploads/image/z/3008847-39-7.jpg?t=%E5%9C%A8%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%88%BF%E9%97%B4%E9%87%8C%2C%E5%9C%B0%E6%9D%BF%E6%98%AF%E9%95%BF%E6%96%B9%E5%BD%A2%E7%9A%84%2C%E7%94%B1%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%B0%8F%E6%A0%BC%E5%AD%90%E6%8B%BC%E6%88%90%2C%E5%9C%A8%E5%9C%B0%E6%9D%BF%E5%B7%A6%E4%B8%8B%E8%A7%92%E5%92%8C%E5%8F%B3%E4%B8%8A%E8%A7%92%E5%90%84%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E8%80%81%E9%BC%A0%E6%B4%9E.%E4%B8%80%E5%A4%A9%E6%99%9A%E4%B8%8A%2C%E8%80%81%E9%BC%A0%E4%BB%8E%E5%85%B6%E4%B8%AD%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%B4%9E%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E8%B7%91%E5%88%B0%E5%8F%A6%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%B4%9E%28%E4%B9%9F%E5%B0%B1%E6%98%AF%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BF%29.%E9%97%AE%3A%E8%80%81%E9%BC%A0%E7%BB%8F%E8%BF%87%E4%BA%86%E5%A4%9A%E5%B0%91%E4%B8%AA%E6%A0%BC%E5%AD%90%3F%28%E8%AE%BE)
在一个房间里,地板是长方形的,由正方形的小格子拼成,在地板左下角和右上角各有一个老鼠洞.一天晚上,老鼠从其中的一个洞直线跑到另一个洞(也就是对角线).问:老鼠经过了多少个格子?(设
在一个房间里,地板是长方形的,由正方形的小格子拼成,在地板左下角和右上角各有一个老鼠洞.一天晚上,老鼠从其中的一个洞直线跑到另一个洞(也就是对角线).问:老鼠经过了多少个格子?(设长为a个格子,宽为b个格子,列出一个公式表达老鼠经过的格子,要能用于所有的长方形)
回1楼:a+b-1我想出来过,在很多长方形都行,不过如果长和宽都是偶数就不行,或者2个数字有约数和倍数的关系
在一个房间里,地板是长方形的,由正方形的小格子拼成,在地板左下角和右上角各有一个老鼠洞.一天晚上,老鼠从其中的一个洞直线跑到另一个洞(也就是对角线).问:老鼠经过了多少个格子?(设
a+b-(a,b),其中(a,b)指的是a和b的最大公约数(greatest common divisor).
(1)假设a和b互素,即(a,b)=1.
可以证明,老鼠在到达终点之前,是不可能越过一个交界点的.这里的交界点指的是横格线和竖格线的交叉点.
这里用反证法,假设在老鼠的途中越过一个交叉点.设此时老鼠走了c横格,d竖格.则根据相似形,c/d=a/b,由于a与b互素,c和d不可能比a或者b小,这就矛盾了.
因此,除去终点,老鼠在途中不经过横竖交叉点.老鼠途中每穿过1横格线,就进入一个新的格子;同理,老鼠途中每穿过1竖格线,就进入一个新的格子.老鼠总共穿过a个横格,b个竖格,再扣除最后一个到达终点时重复计算的横格线和竖格线,总共穿过的格子数目是a+b-1.
(2)假设a和b不互素,设(a,b)是a和b的最大公约数.
考虑c=a/(a,b)和d=b/(a,b)这两个整数,它们是互素的.你可以想象把尺寸为a*b的格子盘的对角线等距截成(a,b)段,每段都正好是尺寸为c*d的格子盘的对角线(画个图你就明白了).
因此,老鼠相当于在c*d的格子盘里走对角线,然后重复了这个步骤(a,b)遍.由于c和d互素,根据(1)的结论,老鼠每次会穿过c+d-1个格子,重复(a,b)遍后的总数是(这些格子在计数的时候不重复)
(c+d-1)*(a,b)=c*(a,b)+d*(a,b)-(a,b)=a+b-(a,b).