证明不等式 e^x>1+(1+x)ln(1+x)(x>0) ( e^x是指e的x次方 )本人是这么做的:令f(x)=e^x-(1+x)ln(1+x)-1 (求出f(x)>0,就可得出结论)则f(x)在[0,x]上连续,在(0,x)内可导 ,由中值定理可知:存在a属
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 01:53:38
![证明不等式 e^x>1+(1+x)ln(1+x)(x>0) ( e^x是指e的x次方 )本人是这么做的:令f(x)=e^x-(1+x)ln(1+x)-1 (求出f(x)>0,就可得出结论)则f(x)在[0,x]上连续,在(0,x)内可导 ,由中值定理可知:存在a属](/uploads/image/z/2708508-12-8.jpg?t=%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F+e%5Ex%3E1%2B%281%2Bx%29ln%281%2Bx%29%28x%3E0%29+%EF%BC%88+e%5Ex%E6%98%AF%E6%8C%87e%E7%9A%84x%E6%AC%A1%E6%96%B9+%EF%BC%89%E6%9C%AC%E4%BA%BA%E6%98%AF%E8%BF%99%E4%B9%88%E5%81%9A%E7%9A%84%EF%BC%9A%E4%BB%A4f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3De%5Ex-%281%2Bx%29ln%281%2Bx%29-1+%EF%BC%88%E6%B1%82%E5%87%BAf%EF%BC%88x%EF%BC%89%3E0%2C%E5%B0%B1%E5%8F%AF%E5%BE%97%E5%87%BA%E7%BB%93%E8%AE%BA%EF%BC%89%E5%88%99f%EF%BC%88x%EF%BC%89%E5%9C%A8%5B0%2Cx%5D%E4%B8%8A%E8%BF%9E%E7%BB%AD%2C%E5%9C%A8%EF%BC%880%2Cx%EF%BC%89%E5%86%85%E5%8F%AF%E5%AF%BC+%2C%E7%94%B1%E4%B8%AD%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86%E5%8F%AF%E7%9F%A5%EF%BC%9A%E5%AD%98%E5%9C%A8a%E5%B1%9E)
证明不等式 e^x>1+(1+x)ln(1+x)(x>0) ( e^x是指e的x次方 )本人是这么做的:令f(x)=e^x-(1+x)ln(1+x)-1 (求出f(x)>0,就可得出结论)则f(x)在[0,x]上连续,在(0,x)内可导 ,由中值定理可知:存在a属
证明不等式 e^x>1+(1+x)ln(1+x)(x>0) ( e^x是指e的x次方 )
本人是这么做的:
令f(x)=e^x-(1+x)ln(1+x)-1 (求出f(x)>0,就可得出结论)
则f(x)在[0,x]上连续,在(0,x)内可导 ,由中值定理可知:存在a属于(0,x),使得 f(x)-f(0)=f‘(x)*a 成立
即 e^x-(1+x)ln(1+x)-1=[e^x-ln(1+x)-1]*a 此处a>0 很明显前部分e^x-ln(1+x)-1 >0的
可知 e^x-(1+x)ln(1+x)-1=[e^x-ln(1+x)-1]*a >0,所以不等式 e^x>1+(1+x)ln(1+x)(x>0) 成立
但是最后一步e^x-ln(1+x)-1 >0 怎么求?
证明不等式 e^x>1+(1+x)ln(1+x)(x>0) ( e^x是指e的x次方 )本人是这么做的:令f(x)=e^x-(1+x)ln(1+x)-1 (求出f(x)>0,就可得出结论)则f(x)在[0,x]上连续,在(0,x)内可导 ,由中值定理可知:存在a属
首先楼主中值定理用错了,f(x)-f(0)=f‘(a)*x,而不是楼主的 f(x)-f(0)=f‘(x)*a
不过对这题影响不大
这题直接求 f'(x)=e^x-ln(1+x)-1 就行
对 f'(x)求导得到f''(x)=e^x- 1/(1+x)
x>0时,e^x>1,1/(1+x)<1,所以f''(x)>0恒成立
f‘(x)单调增加
所以f'(x)>f'(0)=0
f(x)单调增加
f(x)>f(0)=0