双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,其顶点A、B向平行于虚轴的动弦PQ所张的角互补.(1) 求证:双曲线C为等轴双曲线(2)双曲线C与圆D:(x-4)^2+(y-6)^2=13的两个交点M,N的连线段MN正好是圆D直径,试求双
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 10:02:29
![双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,其顶点A、B向平行于虚轴的动弦PQ所张的角互补.(1) 求证:双曲线C为等轴双曲线(2)双曲线C与圆D:(x-4)^2+(y-6)^2=13的两个交点M,N的连线段MN正好是圆D直径,试求双](/uploads/image/z/2618906-50-6.jpg?t=%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BFC%E7%9A%84%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%9C%A8%E5%8E%9F%E7%82%B9%2C%E7%84%A6%E7%82%B9%E5%9C%A8y%E8%BD%B4%E4%B8%8A%2C%E5%85%B6%E9%A1%B6%E7%82%B9A%E3%80%81B%E5%90%91%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E4%BA%8E%E8%99%9A%E8%BD%B4%E7%9A%84%E5%8A%A8%E5%BC%A6PQ%E6%89%80%E5%BC%A0%E7%9A%84%E8%A7%92%E4%BA%92%E8%A1%A5.%281%29+%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BFC%E4%B8%BA%E7%AD%89%E8%BD%B4%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF%282%29%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BFC%E4%B8%8E%E5%9C%86D%3A%28x-4%29%5E2%2B%28y-6%29%5E2%3D13%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E4%BA%A4%E7%82%B9M%2CN%E7%9A%84%E8%BF%9E%E7%BA%BF%E6%AE%B5MN%E6%AD%A3%E5%A5%BD%E6%98%AF%E5%9C%86D%E7%9B%B4%E5%BE%84%2C%E8%AF%95%E6%B1%82%E5%8F%8C)
双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,其顶点A、B向平行于虚轴的动弦PQ所张的角互补.(1) 求证:双曲线C为等轴双曲线(2)双曲线C与圆D:(x-4)^2+(y-6)^2=13的两个交点M,N的连线段MN正好是圆D直径,试求双
双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,其顶点A、B向平行于虚轴的动弦PQ所张的角互补.
(1) 求证:双曲线C为等轴双曲线
(2)双曲线C与圆D:(x-4)^2+(y-6)^2=13的两个交点M,N的连线段MN正好是圆D直径,试求双曲线C的方程.
双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,其顶点A、B向平行于虚轴的动弦PQ所张的角互补.(1) 求证:双曲线C为等轴双曲线(2)双曲线C与圆D:(x-4)^2+(y-6)^2=13的两个交点M,N的连线段MN正好是圆D直径,试求双
(1)由题知双曲线方程可为:y^2/a^2-x^2/b^2=1(a>0,b>0),设P(x0,y0),则Q(-x0,y0),
∵∠PAQ+∠PBQ=180°,∴∠PAE+∠PBE=90°
∴tan∠PAE•tan∠PBE=|x0/(y0-a)|•|x0/(y0+a)|=|x0^2/(y0^2-a^2)|
将双曲线方程代入上式可得tan∠PAE•tan∠PBE=b^2/a^2=1
∴a=b(a=-b舍去),
∴双曲线C是一条等轴双曲线
(2)由(1)知双曲线C的方程为y2-x2=a2.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1^2 -x1 ^2=a^2,y2^2 -x2 ^2=a^2,
∴(y1+y2)•(y1-y2)-(x1+x2)(x1-x2)=0
∵MN的中点为D(4,6),
∴12(y1-y2)-8(x1-x2)=0,(y1-y2)/(x1-x2)=8/12=2/3
即Kmn=2/3
∴MN:y-6= 2(x-4)/3
代入圆的方程得:(x-4)^2+(x-4)^2•4/9=13,
∴x=7或1,
∴M点的坐标为(7,8)或(1,4)
代入双曲线方程得a^2=8^2-7^2(或4^2-1^2)=15,
∴双曲线方程为y^2-x^2=15.