拉格朗日定理证明题利用拉格朗日定理证明(lny-lnx)/(y-x)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 06:39:41
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拉格朗日定理证明题利用拉格朗日定理证明(lny-lnx)/(y-x)
拉格朗日定理证明题
利用拉格朗日定理证明(lny-lnx)/(y-x)<1/根号(xy)怎么做?
拉格朗日定理证明题利用拉格朗日定理证明(lny-lnx)/(y-x)
用拉格朗日我证明不出,但可以用其他方法
设根号(y/x)=t
要证(lny-lnx)/(y-x)<1/根号(xy)
即证2lnt
f'(t)=1/t^2-1
因为y>x,t>1
f'(t)<0,f(t)单调递减
f(t)
将根号(y/x)=t代入
得到(lny-lnx)/(y-x)<1/根号(xy)
怕你搞混,我们可设F(t)=lnt,不妨设(y>x>0),可知在[x,y]上F(t)连续,
在(x,y)上F(t)可导,根据拉格朗日可知至少存在一点“克西”(键盘上打不出来哈),我们姑且用&代替),&属于[x,y],使F’(&)=(lny-lnx)/(y-x);
即证F"(&) < 1/根号(xy);即1/& < 1/根号(xy);两边平方(都是正数),再倒数,即&的平方要大于xy...
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怕你搞混,我们可设F(t)=lnt,不妨设(y>x>0),可知在[x,y]上F(t)连续,
在(x,y)上F(t)可导,根据拉格朗日可知至少存在一点“克西”(键盘上打不出来哈),我们姑且用&代替),&属于[x,y],使F’(&)=(lny-lnx)/(y-x);
即证F"(&) < 1/根号(xy);即1/& < 1/根号(xy);两边平方(都是正数),再倒数,即&的平方要大于xy,然后问题就出现了,&的平方是不一定大于xy的,这个就困扰我了,不知道LZ是不是困在这里,但看楼上的解答是正确的,不知道楼上是不是也困在这里?不才,惭愧。。。
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