三角形内接与圆O,AB是圆O直径,点D在圆O上,过点C的切线交AD的延长线与点E,且AE垂直于CE,连接CD求证(1)AC平分角BAE(2)DC等于BC(3)若AB=5,AC=4,求sin角CDE的值题目补充“三角形ABC内接与圆O”
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 02:25:15
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三角形内接与圆O,AB是圆O直径,点D在圆O上,过点C的切线交AD的延长线与点E,且AE垂直于CE,连接CD求证(1)AC平分角BAE(2)DC等于BC(3)若AB=5,AC=4,求sin角CDE的值题目补充“三角形ABC内接与圆O”
三角形内接与圆O,AB是圆O直径,点D在圆O上,过点C的切线交AD的延长线与点E,且AE垂直于CE,连接CD
求证(1)AC平分角BAE(2)DC等于BC(3)若AB=5,AC=4,求sin角CDE的值
题目补充“三角形ABC内接与圆O”
三角形内接与圆O,AB是圆O直径,点D在圆O上,过点C的切线交AD的延长线与点E,且AE垂直于CE,连接CD求证(1)AC平分角BAE(2)DC等于BC(3)若AB=5,AC=4,求sin角CDE的值题目补充“三角形ABC内接与圆O”
证明:(1)、连接OC
∵ CE是圆O切线
∴OC⊥CE
∵AE⊥CE
∴OC‖AE
∴∠OCA=∠EAC
∵OA=OB
∴∠OCA=∠OAC
∴∠EAC=∠OAC
即AC平分角BAE
(2)、∵∠EAC=∠OAC
∴弧CD=弧BC
∴DC=BC
(3)、作CF⊥AB于F
∴∠CFB=∠CED=90°
∵∠EAC=∠BAC CE⊥AE CF⊥AB
∴CE=CF
∵DC=BC
∴△CED≌△CFB
∴∠B=∠CDE
RT△ACB中,sin∠B=AC/AB=4/5
∴ sin∠CDE= sin∠B=4/5
CE是圆O切线
∴OC⊥CE
∵AE⊥CE
∴OC‖AE
∴∠OCA=∠EAC
∵OA=OB
∴∠OCA=∠OAC
∴∠EAC=∠OAC
证明: (1)、因为:EC是圆0的切线 所以:∠ECD=∠CAE, 而:∠CED=∠AEC=90° (公共角) 所以:RT△DEC∽RT△CEA 所以:∠EDC=∠ECA 而:∠EDC=∠B 所以:∠ECA=∠B 又:∠BCA=∠CEA=90° 所以:RT△ABC∽RT△ACE 所以:∠BAC=∠CAE 所以:AC平分∠BAE (2)、所以:DC=BC (同圆上圆周角相等,圆周角所对的弦也相等) (3)、因为:AB=5,AC=4,∠ACB=90° 所以:sin∠ABC=AC/AB=4/5 而∠CDE=∠ABC 所以:sin∠CDE=4/5