数学问题: 已知圆x∧2+y∧2=4,直线l:y=x+b,当b为何值时,圆x∧2+y∧2=4上恰好有3个点到直线l的距离都等于1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 15:36:08
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数学问题: 已知圆x∧2+y∧2=4,直线l:y=x+b,当b为何值时,圆x∧2+y∧2=4上恰好有3个点到直线l的距离都等于1
数学问题: 已知圆x∧2+y∧2=4,直线l:y=x+b,当b为何值时,圆x∧2+y∧2=4上恰好有3个点到直线l的距离都等于1
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先作图,再想”圆x∧2+y∧2=4上恰好有3个点到直线l的距离都等于1”的意思.
只有满足”一点(A)在L的一侧,另2点(B,C)在L的另外一侧”才可以符合上面的这个条件.又”只有A到线L(设交点为D)的垂线经过原点O”才可以满足BC在另一侧,所以AD=OA-OD=R-OD=2-OD=1.所以OD=1,再用点到线的距离公式(其他方法也可)得b=±√2
作图
b=±√2
把y=x+b代入圆x²+y²=4的方程,得2x²+2bx+b²-4=0 由判别式△=4b²-8(b²-4)=0,得b²=±2√2, 切点Q(x0,y0),则Q1(-√2,√2), Q2(√2,-√2) OQ的中点M1(-√2/2,√2/2), M2 (√2/2,-√2/2) OQ的斜率k=-1 ∴ 过M且与切线平行的直线的方程是:y-√2/2=(x+√2/2)或y+√2/2=(x-√2/2).此时b=±√2 ∴ 当b为±√2时,圆x^2+y^2=4上恰好有3个点到直线l的距离都等于1(如图所示).
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