已知P为质数,使二次方程X^2-25PX+P^2-5P-1等于0的两根都是整数,求出P的所有可能值快
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 13:09:17
![已知P为质数,使二次方程X^2-25PX+P^2-5P-1等于0的两根都是整数,求出P的所有可能值快](/uploads/image/z/2489869-37-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5P%E4%B8%BA%E8%B4%A8%E6%95%B0%2C%E4%BD%BF%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8BX%5E2-25PX%2BP%5E2-5P-1%E7%AD%89%E4%BA%8E0%E7%9A%84%E4%B8%A4%E6%A0%B9%E9%83%BD%E6%98%AF%E6%95%B4%E6%95%B0%2C%E6%B1%82%E5%87%BAP%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E5%8F%AF%E8%83%BD%E5%80%BC%E5%BF%AB)
已知P为质数,使二次方程X^2-25PX+P^2-5P-1等于0的两根都是整数,求出P的所有可能值快
已知P为质数,使二次方程X^2-25PX+P^2-5P-1等于0的两根都是整数,求出P的所有可能值
快
已知P为质数,使二次方程X^2-25PX+P^2-5P-1等于0的两根都是整数,求出P的所有可能值快
设两根为x1,x2则x1+x2=25p,x1x2=p^2-5p-1
设质数p为奇数则x1+x2为奇数,所以x1,x2一奇一偶,所以x1x2为偶数
另一方面x1x2=p^2-5p-1为奇数,矛盾
所以p为偶质数p=2
但此时x^2-50x-7=0无整数根,题目有问题!
我想说,是二,不是二十五
∵已知的整系数二次方程有整数根,
∴△=4p2-4(p2-5p-1)=4(5p+1)为完全平方数,
从而,5p+1为完全平方数
设5p+1=n2,注意到p≥2,故n≥4,且n为整数
∴5p=(n+1)(n-1),
则n+1,n-1中至少有一个是5的倍数,即n=5k±1(k为正整数)
∴5p+1=25k2±10k+1,p=k(5k±2),
由p...
全部展开
∵已知的整系数二次方程有整数根,
∴△=4p2-4(p2-5p-1)=4(5p+1)为完全平方数,
从而,5p+1为完全平方数
设5p+1=n2,注意到p≥2,故n≥4,且n为整数
∴5p=(n+1)(n-1),
则n+1,n-1中至少有一个是5的倍数,即n=5k±1(k为正整数)
∴5p+1=25k2±10k+1,p=k(5k±2),
由p是质数,5k±2>1,
∴k=1,p=3或7
当p=3时,已知方程变为x2-6x-7=0,解得x1=-1,x2=7;
当p=7时,已知方程变为x2-14x+13=0,解得x1=1,x2=13
所以p=3或p=7.
收起