在△ABC内求一点,使(向量AP)^2+(向量BP)^2+(向量CP)^2最小,此时的P点是一个什么特殊点?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 05:13:34
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在△ABC内求一点,使(向量AP)^2+(向量BP)^2+(向量CP)^2最小,此时的P点是一个什么特殊点?
在△ABC内求一点,使(向量AP)^2+(向量BP)^2+(向量CP)^2最小,此时的P点是一个什么特殊点?
在△ABC内求一点,使(向量AP)^2+(向量BP)^2+(向量CP)^2最小,此时的P点是一个什么特殊点?
点P是△ABC的重心.
[证明]
显然有:向量AP=向量CP-向量CA、 向量BP=向量CP-向量CB,
∴(向量AP)^2+(向量BP)^2+(向量CP)^2
=(向量CP-向量CA)^2+(向量CP-向量CB)^2+(向量CP)^2
=(向量CP)^2-2向量CP·向量CA+(向量CA)^2
+(向量CP)^2-2向量CP·向量CB+(向量CB)^2+(向量CP)^2
=3(向量CP)^2-2向量CP·(向量CA+向量CB)+(向量CA)^2+(向量CB)^2
=3[(向量CP)^2-(2/3)向量CP·(向量CA+向量CB)+(1/9)(向量CA+向量CB)^2]
-(1/3)(向量CA+向量CB)^2+(向量CA)^2+(向量CB)^2
=3[向量CP-(1/3)(向量CA+向量CB)]^2
-(1/3)(向量CA+向量CB)^2+(向量CA)^2+(向量CB)^2.
∵向量CA、向量CB 都是确定的,
∴当向量CP=(1/3)(向量CA+向量CB)时,
(向量AP)^2+(向量BP)^2+(向量CP)^2 有最小值.
以CA、CB为邻边作平行四边形ACBD,令AB与CD相交于E.
则:CD=2CE、 AE=BE、 向量CD=向量CA+向量CB.
∴当向量CP=(1/3)(向量CA+向量CB)时,有:向量CP=(1/3)向量CD,
∴向量CP、向量CD共线,
∴C、P、D共线,且CP=(1/3)CD=(2/3)CE,而AE=BE,∴P是△ABC的重心.
注:网上有利用解析法给出的答案,请阅读以下的链接.