关于高一数学必修五正余弦定理的问题已知锐角α、β、γ,满足sinα+sinγ=sinβ,cosα-cosγ=cosβ,求α-β的值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 03:17:27
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关于高一数学必修五正余弦定理的问题已知锐角α、β、γ,满足sinα+sinγ=sinβ,cosα-cosγ=cosβ,求α-β的值.
关于高一数学必修五正余弦定理的问题
已知锐角α、β、γ,满足sinα+sinγ=sinβ,cosα-cosγ=cosβ,求α-β的值.
关于高一数学必修五正余弦定理的问题已知锐角α、β、γ,满足sinα+sinγ=sinβ,cosα-cosγ=cosβ,求α-β的值.
由已知得
sinγ=-sinα+sinβ,cosγ=cosα-cosβ,平方相加得
sin²γ+cos²γ=(-sinα+sinβ)²+(cosα-cosβ)²,即
1=sin²α-2sinαsinβ+sin²β+cos²α-2cosαcosβ+cos²β
=(sin²α+cos²α)+(sin²β+cos²β)-2(sinαsinβ+cosαcosβ)
=1+1-2cos(α-β)
故cos(α-β)=1/2
又已知α、β为锐角,故α-β=±π/3
再由γ也为锐角及sinγ=-sinα+sinβ,得α<β
故α-β=-π/3
首先,由sinα+sinγ=sinβ知道sinα-sinβ=-sinγ;
其次,由cosα-cosγ=cosβ知道cosα-cosβ=cosγ;
又因为(-sinγ) x (-sinγ) + cosγ x cosγ =1;
从而知道(sinα-sinβ)x (sinα-sinβ) +(cosα-cosβ)x (cosα-cosβ)=1;
化简上式得:cosα x...
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首先,由sinα+sinγ=sinβ知道sinα-sinβ=-sinγ;
其次,由cosα-cosγ=cosβ知道cosα-cosβ=cosγ;
又因为(-sinγ) x (-sinγ) + cosγ x cosγ =1;
从而知道(sinα-sinβ)x (sinα-sinβ) +(cosα-cosβ)x (cosα-cosβ)=1;
化简上式得:cosα x cosβ + sinα x sinβ = 1/2;
即cos(α-β)=1/2;
由α,β,γ是锐角,且cosα-cosβ=cosγ>0,知道:-π/2<α-β<0;
所以α-β= -π/3;
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