用数学归纳法求证N的3次方加5N能被6整除~
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 07:21:35
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用数学归纳法求证N的3次方加5N能被6整除~
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用数学归纳法求证N的3次方加5N能被6整除~
证明:
(1)当n=1时n^3+5n=6能被6整除
(2)设n=k时k^3+5k能被6整除,则当n=k+1时
(k+1)^3+5(k+1)=k^3+5k+3(k^2+k)+6
因为k^3+5k能被6整除 且6也被6整除
现在只要证明3(k^2+k)能被6整除即可
因为k为自然数 当k为偶数时k^2+k=偶数3* (k^2+k)能被6整除
当k为奇数时k^2=奇数 k+k^2=偶数 所以(k^2+k) 也能被6整除
所以3(k^2+k)能被6整除
所以(k+1)^3+5(k+1)能被6整除
由1、2可得N的3次方加5N能被6整除
证明:当N=1时,N的3次方+5N=6,满足题意
假设当N=k时,k的3次方加5k能被6整除
则N=k+1时,(k+1)的立方+5k=k的立方+3*k的平方+3k+1
(化简:k为自然数 当k为偶数时k^2+k=偶数3* (k^2+k)能被6整除
当k为奇数时k^2=奇数 k+k^2=偶数 所以(k^2+k) 也能被6整除
所以3(k^2+k)能被6整除...
全部展开
证明:当N=1时,N的3次方+5N=6,满足题意
假设当N=k时,k的3次方加5k能被6整除
则N=k+1时,(k+1)的立方+5k=k的立方+3*k的平方+3k+1
(化简:k为自然数 当k为偶数时k^2+k=偶数3* (k^2+k)能被6整除
当k为奇数时k^2=奇数 k+k^2=偶数 所以(k^2+k) 也能被6整除
所以3(k^2+k)能被6整除
所以(k+1)^3+5(k+1)能被6整除 )
所以当N=k+1时,结论也成立
所以N的3次方加5N能被6整除
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