证明不是等比数列设数列An、Bn是公比不相等的两个等比数列,Cn=An+Bn,求证:数列Cn不是等比数列
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 13:33:08
![证明不是等比数列设数列An、Bn是公比不相等的两个等比数列,Cn=An+Bn,求证:数列Cn不是等比数列](/uploads/image/z/15003213-69-3.jpg?t=%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%B8%8D%E6%98%AF%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97%E8%AE%BE%E6%95%B0%E5%88%97An%E3%80%81Bn%E6%98%AF%E5%85%AC%E6%AF%94%E4%B8%8D%E7%9B%B8%E7%AD%89%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97%2CCn%EF%BC%9DAn%EF%BC%8BBn%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E6%95%B0%E5%88%97Cn%E4%B8%8D%E6%98%AF%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97)
证明不是等比数列设数列An、Bn是公比不相等的两个等比数列,Cn=An+Bn,求证:数列Cn不是等比数列
证明不是等比数列
设数列An、Bn是公比不相等的两个等比数列,Cn=An+Bn,求证:数列Cn不是等比数列
证明不是等比数列设数列An、Bn是公比不相等的两个等比数列,Cn=An+Bn,求证:数列Cn不是等比数列
证明 :
用反证法
设Cn是反比数列,
则有Cn+1=A(n+1)+B(n+1)
=An*a+Bn*b
即Cn=(An*a+BN*b)/c
根本已知,Cn=An+Bn
An*a+Bn*b=An*c+Bn*c
a=b=c
这与已知Aa Bb是不同公比数列矛盾,所以Cn不是等比数列
或者:
证明
由题意可设
a(n+1)=qan,b(n+1)=pbn,p≠q
cn=an+bn
c(n+1)=a(n+1)+b(n+1) = qan+pbn
假设:cn/c(n-1) = (qan+pbn)/(an+bn) = k(定值) …①
所以(q-k)an + (p-k)bn = 0
an/bn = (k-p)/(q-k) = (a1/b1)(q/p)^(n-1) 对任意n∈N成立
(q/p)^(n-1) = (b1/a1)[(k-p)/(q-k)] (定值)
从而q/p = 1,但这与p≠q矛盾
所以,①假设不成立,故{cn}不是等比数列
设Cn是公比为q的等比数列,则Cn+1=q*Cn
An+1 + Bn+1=q*(An+Bn)=q*An+q*Bn
而An+1=q1*An, Bn+1=q2*Bn
q1*An + q2*Bn =q*An+q*Bn
An*(q1 - q) + Bn*(q2 - q) = 0,此式对任何An, Bn都成立,故q1 - q , q2 - q都必须为0,即q=q1=q2,与已知矛盾,故数列Cn不是等比数列