一个挺简单的几何问题.在Rt△ABC中,点D在斜边BC上使得BD=4DC,一圆过点C并与直角边AC交于F,与AB相切于其中点G,证明AD垂直于BF.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 17:11:53
![一个挺简单的几何问题.在Rt△ABC中,点D在斜边BC上使得BD=4DC,一圆过点C并与直角边AC交于F,与AB相切于其中点G,证明AD垂直于BF.](/uploads/image/z/14602613-5-3.jpg?t=%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%8C%BA%E7%AE%80%E5%8D%95%E7%9A%84%E5%87%A0%E4%BD%95%E9%97%AE%E9%A2%98.%E5%9C%A8Rt%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E7%82%B9D%E5%9C%A8%E6%96%9C%E8%BE%B9BC%E4%B8%8A%E4%BD%BF%E5%BE%97BD%3D4DC%2C%E4%B8%80%E5%9C%86%E8%BF%87%E7%82%B9C%E5%B9%B6%E4%B8%8E%E7%9B%B4%E8%A7%92%E8%BE%B9AC%E4%BA%A4%E4%BA%8EF%2C%E4%B8%8EAB%E7%9B%B8%E5%88%87%E4%BA%8E%E5%85%B6%E4%B8%AD%E7%82%B9G%2C%E8%AF%81%E6%98%8EAD%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%BA%8EBF.)
一个挺简单的几何问题.在Rt△ABC中,点D在斜边BC上使得BD=4DC,一圆过点C并与直角边AC交于F,与AB相切于其中点G,证明AD垂直于BF.
一个挺简单的几何问题.
在Rt△ABC中,点D在斜边BC上使得BD=4DC,一圆过点C并与直角边AC交于F,与AB相切于其中点G,证明AD垂直于BF.
一个挺简单的几何问题.在Rt△ABC中,点D在斜边BC上使得BD=4DC,一圆过点C并与直角边AC交于F,与AB相切于其中点G,证明AD垂直于BF.
我也画了个草图
过D点作DE⊥AC于E
∵∠BAC=90°,BD=4DC
∴BC=5DC
根据切割线定理有
AC=5/4AE,AG=5/2ED
AG^2=AF*AC
∴(5/2ED)^2=AF*5/4AE
∴5ED^2=AF*AE
∵AB=5ED
∴AB*ED=AF*AE
即得AB/AE=AF/ED
∴Rt△BAF∽Rt△AED
∴∠ABF=∠EAD
∵∠BAD+∠EAD=90°
∴∠BAD+∠ABF=90°
∴AD⊥BF
取BC中点O,连结BO并延长交AD的延长线于H.
易证AC/OH=CD/DO=2/3.
又∵OG是中位线,
∴OG=1/2AC.
∴HG=2AC.
由切割线定理,得:AG方=AF·AC.
∴tan∠GAH/tan∠AFB=(HG/AG)/(AB/AF)=(2AC/AG)/(2AG/AF)=(AF·AC)/AG方=1.
即tan∠GAH=tan...
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取BC中点O,连结BO并延长交AD的延长线于H.
易证AC/OH=CD/DO=2/3.
又∵OG是中位线,
∴OG=1/2AC.
∴HG=2AC.
由切割线定理,得:AG方=AF·AC.
∴tan∠GAH/tan∠AFB=(HG/AG)/(AB/AF)=(2AC/AG)/(2AG/AF)=(AF·AC)/AG方=1.
即tan∠GAH=tan∠AFB.
∴∠GAH=∠AFB.
∴AD⊥BF.
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