在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90°,E、F分别是AB、CD的中点,求证:EF=二分之一(AB-CD)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 04:36:04
![在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90°,E、F分别是AB、CD的中点,求证:EF=二分之一(AB-CD)](/uploads/image/z/13949656-16-6.jpg?t=%E5%9C%A8%E6%A2%AF%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2CAB%E2%88%A5CD%2C%E2%88%A0A%2B%E2%88%A0B%3D90%C2%B0%2CE%E3%80%81F%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AFAB%E3%80%81CD%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AEF%3D%E4%BA%8C%E5%88%86%E4%B9%8B%E4%B8%80%EF%BC%88AB-CD%EF%BC%89)
在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90°,E、F分别是AB、CD的中点,求证:EF=二分之一(AB-CD)
在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90°,E、F分别是AB、CD的中点,求证:EF=二分之一(AB-CD)
在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90°,E、F分别是AB、CD的中点,求证:EF=二分之一(AB-CD)
证明:过点F作FM∥AD,FN∥BC,交AB与点M、N
则四边形ADFM、BCFN是平行四边形
∴AM=DF,BN=FC
又∵F是DC的中点,∴FC=DF,∴AM=NB
又∵AE=BN,∴EM=EN
∵∠A+∠B=90°,∴∠FMN+∠FNM=90°
∴△FMN是直角三角形
∴EF=1/2MN,∴EF=二分之一(AB-CD)
过点F作FG∥DA交AB于G,再过点F作FH∥CB交AB于H。
容易证得:∠FGE=∠A,∠FHE=∠B,
且DFGA、FCBH都是平行四边形,得:AG=DF,HB=FC。
显然有:GH=AB-AG-HB=AB-DF-FC=AB-CD。
由∠FGE=∠A,∠FHE=∠B,∠A+∠B=90°,得:∠FGE+∠FHE=90°,
即:∠GFH=90°。<...
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过点F作FG∥DA交AB于G,再过点F作FH∥CB交AB于H。
容易证得:∠FGE=∠A,∠FHE=∠B,
且DFGA、FCBH都是平行四边形,得:AG=DF,HB=FC。
显然有:GH=AB-AG-HB=AB-DF-FC=AB-CD。
由∠FGE=∠A,∠FHE=∠B,∠A+∠B=90°,得:∠FGE+∠FHE=90°,
即:∠GFH=90°。
因为E、F分别是AB、CD的中点,所以:DF=FC,DE=EB,
结合AG=DF,HB=FC,得:DE-AG=EB-HB,即:EG=EH,所以:EF=GH/2,
于是:EF=(AB-CD)/2。
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