已知:f(x)=x³+x在(x∈R)上是单调增函数.证明:满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 12:29:04
![已知:f(x)=x³+x在(x∈R)上是单调增函数.证明:满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个.](/uploads/image/z/13189494-30-4.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%EF%BC%9Af%28x%29%3Dx%26sup3%3B%2Bx%E5%9C%A8%28x%E2%88%88R%29%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%8D%95%E8%B0%83%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0.%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E6%BB%A1%E8%B6%B3f%28x%29%3Da%EF%BC%88a%E4%B8%BA%E5%B8%B8%E6%95%B0%EF%BC%89%E7%9A%84%E5%AE%9E%E6%95%B0x%E8%87%B3%E5%A4%9A%E5%8F%AA%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA.)
已知:f(x)=x³+x在(x∈R)上是单调增函数.证明:满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个.
已知:f(x)=x³+x在(x∈R)上是单调增函数.证明:满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个.
已知:f(x)=x³+x在(x∈R)上是单调增函数.证明:满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个.
用反证法证明
证:假设满足f(x)=a(a为常数)的实数x不止一个,x1、x2是其中的两个,且x1
已知:f(x)=x³+x在(x∈R)上是单调增函数。证明:满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个。
证.设x1>x2>0
则f(x1)-f(x2)=x1²+3-x2²-3=x1²-x2²=(x1+x2)(x1-x2)
∵x1>x2>0
∴x1+x2>0,x1-x2)>0
∴f(x1)-f(x2)>0...
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已知:f(x)=x³+x在(x∈R)上是单调增函数。证明:满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个。
证.设x1>x2>0
则f(x1)-f(x2)=x1²+3-x2²-3=x1²-x2²=(x1+x2)(x1-x2)
∵x1>x2>0
∴x1+x2>0,x1-x2)>0
∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)
所以f(x)=x²+3在区间(0,+∞)上是增函数
收起
(反证法)证明:假设满足f(x)=a的实数恰有两个m和n,(m≠n)使得f(m)=a,且f(n)=a.===>f(m)=f(n).不妨设m>n,因函数f(x)在R上递增,故a=f(m)>f(n)=a.===>a>a.矛盾。故原命题真。
由于是单调增函数,若f(x1)=f(x2)=a
则x1=x2,所以得证。