证明P(m,n)在椭圆c x2/4+y2/4=1 运动时 直线mx+ny=1 与 圆x2+y2=1 恒相交 并求所得弦长的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 16:56:02
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证明P(m,n)在椭圆c x2/4+y2/4=1 运动时 直线mx+ny=1 与 圆x2+y2=1 恒相交 并求所得弦长的取值范围
证明P(m,n)在椭圆c x2/4+y2/4=1 运动时 直线mx+ny=1 与 圆x2+y2=1 恒相交 并求所得弦长的取值范围
证明P(m,n)在椭圆c x2/4+y2/4=1 运动时 直线mx+ny=1 与 圆x2+y2=1 恒相交 并求所得弦长的取值范围
首先,x²/4 + y²/4 = 1是圆,不是椭圆,这个比椭圆要好证些.
证:由题意,得 m²/4 + n²/4 = 1,即 m²+n² = 4
直线mx+ny=1 到 圆x²+y²=1 的圆心(0,0)的距离为:
d = |m*0+n*0-1|/√(m²+n²) = 1/√(m²+n²) =1/2 < 1
而圆x²+y²=1的半径r = 1,
故 直线mx+ny=1 与 圆x²+y²=1 恒相交 .
弦长 l = 2√(r²-d²) = 2√(1²-(1/2)²) = √3
如果是椭圆,也是按这个方法做:
那样求出的d=1/√(m²+n²) 不是定值,但可证明其小于1,并有一个固定的取值范围,
然后代入 l = 2√(r²-d²)就可以求出弦长的取值范围.
点P(m,n)在圆C(好像你这方程表示的是圆吧?)上,所以m^2+n^2=4,直线与圆恒相交意味着该圆圆心到直线的距离小于半径,圆x^2+y^2=1圆心为(0,0),所以圆心到直线的距离为
1/根下(m^2+n^2)=1/2小于半径1,所以恒相交。
弦长应该是定值吧?大小应该是根3...
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点P(m,n)在圆C(好像你这方程表示的是圆吧?)上,所以m^2+n^2=4,直线与圆恒相交意味着该圆圆心到直线的距离小于半径,圆x^2+y^2=1圆心为(0,0),所以圆心到直线的距离为
1/根下(m^2+n^2)=1/2小于半径1,所以恒相交。
弦长应该是定值吧?大小应该是根3
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