一数学证明题证明题(无图)已知三角形ABC为直角三角形,角ACB等于90度,AC=BC,点A、C在X轴上,点B坐标为(3,M)(M>0),线段AB与Y轴交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D.问:设点Q为抛物线上点P至点B
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 11:33:53
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一数学证明题证明题(无图)已知三角形ABC为直角三角形,角ACB等于90度,AC=BC,点A、C在X轴上,点B坐标为(3,M)(M>0),线段AB与Y轴交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D.问:设点Q为抛物线上点P至点B
一数学证明题证明题(无图)
已知三角形ABC为直角三角形,角ACB等于90度,AC=BC,点A、C在X轴上,点B坐标为(3,M)(M>0),线段AB与Y轴交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D.
问:设点Q为抛物线上点P至点B之间的动点,连接PQ并延长交BC于点E,连接BQ并延长交AC于点F,试证明:FC(AC+EC)为定植.
一数学证明题证明题(无图)已知三角形ABC为直角三角形,角ACB等于90度,AC=BC,点A、C在X轴上,点B坐标为(3,M)(M>0),线段AB与Y轴交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D.问:设点Q为抛物线上点P至点B
如图,可知C(3,0), B(3,m), A(3-m,0).D(0,m-3).
设:过BDP三点的抛物线方程为y=ax²+bx+c,
将B,D,P三点坐标代入得:
c=m-3. m=9a+3b+c, 0=a+b+c,
又P是抛物线顶点,所以:x=-b/2a=1,即b=-2a
所以:解得a=1,b=-2,c=1,m=4.
所以:B(3,4),A(-1,0),D(0,1);且抛物线方程为y=x²-2x+1
设:Q(p,q),
则:经过PQ的方程为y=[q/(p-1)]x-[q/(p-1)]
当x=3时,y=2q/(p-1),即:CE=2q/(p-1)
经过Q,B的直线方程为y=[(q-4)/(p-3)]x+(4p-3q)/(p-3)
当y=0时,x=(3q-4p)/(q-4),即:OF=(3q-4p)/(q-4),
所以:FC=3-(3q-4p)/(q-4)=(4p-12)/(q-4)
所以:AC+EC=4+[2q/(p-1)]=(4p+2q-4)/(p-1)
所以:FC(AC+EC)=[(4p-12)/(q-4)][(4p+2q-4)/(p-1)]
=[(16P²-32p+16)-32p+32+8qp-24q]/(pq-q-4p+4)
=(16q-32p+32+8qp-24q)/ (pq-q-4p+4) (说明:q=p²-2p+1,因Q在抛物线上)
=8
即:FC(AC+EC)=8,是一个常数,所以是定值.