G是△ABC的重心,且√(7)sinA 向量GA+3sinB 向量GB+3√(7)sin C向量GC=0求B求的是∠B的大小
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 16:49:04
![G是△ABC的重心,且√(7)sinA 向量GA+3sinB 向量GB+3√(7)sin C向量GC=0求B求的是∠B的大小](/uploads/image/z/12992848-16-8.jpg?t=G%E6%98%AF%E2%96%B3ABC%E7%9A%84%E9%87%8D%E5%BF%83%2C%E4%B8%94%E2%88%9A%EF%BC%887%EF%BC%89sinA+%E5%90%91%E9%87%8FGA%2B3sinB+%E5%90%91%E9%87%8FGB%2B3%E2%88%9A%EF%BC%887%EF%BC%89sin+C%E5%90%91%E9%87%8FGC%3D0%E6%B1%82B%E6%B1%82%E7%9A%84%E6%98%AF%E2%88%A0B%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F)
G是△ABC的重心,且√(7)sinA 向量GA+3sinB 向量GB+3√(7)sin C向量GC=0求B求的是∠B的大小
G是△ABC的重心,且√(7)sinA 向量GA+3sinB 向量GB+3√(7)sin C向量GC=0求B
求的是∠B的大小
G是△ABC的重心,且√(7)sinA 向量GA+3sinB 向量GB+3√(7)sin C向量GC=0求B求的是∠B的大小
先证明一个结论:
G为三角形ABC所在平面内一点,GA+GB+GC=0点G是三角形ABC的重心
(GA ,GB,GC,0为向量)
取BC中点D,连结并延长GD至E,使DE=GD,则四边形BGCE是平行四边形
∴向量GB=向量CE
∴向量GB+向量GC=向量CE+向量GC=向量GE
由向量GA+向量GB+向量GC=0得:向量GB+向量GC=-向量GA=向量AG
∴向量AG和向量GE共线===>A、G、E三点共线
而D在GE上,∴A、G、D三点共线
而点D又是BC中点,∴AD(即AG)是三角形ABC中BC边上的中线
同理可证BG是AC边上的中线,CG是AB边上的中线
∴点G是三角形ABC的重心.
本题中:G是三角形ABC的重心,且sinA*向量GA+sinB*向量GB+sinC*向量GC=0,
又因GA+GB+GC=0,所以GA=-GB–GC,
代入得:sinA*(-GB–GC)+sinB*向量GB+sinC*向量GC=0,
(sinB- sinA)*向量GB+(sinC- sinA)*向量GC=0,
因为向量GB,向量GC不共线,所以只有sinB- sinA =0,sinC- sinA=0,
根据正弦定理知:b=a=c,
三角形是等边三角形,
则角B的大小为60°.