x y 为任意非零实数 求证 等式1/x + 1/y=1/(x+y)总不成立
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 12:00:31
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x y 为任意非零实数 求证 等式1/x + 1/y=1/(x+y)总不成立
x y 为任意非零实数 求证 等式1/x + 1/y=1/(x+y)总不成立
x y 为任意非零实数 求证 等式1/x + 1/y=1/(x+y)总不成立
用反证法证明,设命题成立,则有1/x + 1/y=1/(x+y) (x+y)^2=xy x^2+xy+y^2=0,因为x y 为任意非零实数,所以xy≠0,x^2≠0,y^2≠0,因此命题不成立.
用反证法证明
1/x + 1/y=1/(x+y)
相减 (2xy+y^2+x^2-xy)/[xy(x+y)]=[(x+0.5*y)^2+0.75*y^2]/[xy(x+y)] xy不等于0时恒大于0
(1/x + 1/y ) - 1/(x+y)
=[y(x+y)+x(x+y)-xy]/[xy(x+y)]
=(x^2-xy+y^2) /[xy(x+y)]
分子以x为未知数时:方程x^2-xy+y^2=0判别式=y^2-4y^2=-3y^2<0,无实数解
同理分子以y为未知数时:方程y^2-xy+x^2=0判别式=x^2-4x^2=-3x^2<0,无实数解
...
全部展开
(1/x + 1/y ) - 1/(x+y)
=[y(x+y)+x(x+y)-xy]/[xy(x+y)]
=(x^2-xy+y^2) /[xy(x+y)]
分子以x为未知数时:方程x^2-xy+y^2=0判别式=y^2-4y^2=-3y^2<0,无实数解
同理分子以y为未知数时:方程y^2-xy+x^2=0判别式=x^2-4x^2=-3x^2<0,无实数解
∴(1/x + 1/y ) - 1/(x+y)=0总不成立
即:1/x + 1/y=1/(x+y)总不成立
收起
因为关于x的方程(x+y)^2-xy=x^2+y^2+xy=0没有非零实数解,所以当xy不等于零时:
(x+y)^2≠xy
(x+y)/xy≠1/(x+y)
1/x+1/y≠1/(x+y)