椭圆的蝴蝶定理变形如图所示,点F、直线l分别是椭圆Γ的焦点和准线.弦AB、TS均过F.过点T,S分别作椭圆Γ的切线TC,SD,其中C,D分别是两切线与直线AB的交点.求证:1/FA ﹣1/FB = 1/FC﹣1/FD注:1、我已
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 05:04:31
![椭圆的蝴蝶定理变形如图所示,点F、直线l分别是椭圆Γ的焦点和准线.弦AB、TS均过F.过点T,S分别作椭圆Γ的切线TC,SD,其中C,D分别是两切线与直线AB的交点.求证:1/FA ﹣1/FB = 1/FC﹣1/FD注:1、我已](/uploads/image/z/12016067-59-7.jpg?t=%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E8%9D%B4%E8%9D%B6%E5%AE%9A%E7%90%86%E5%8F%98%E5%BD%A2%E5%A6%82%E5%9B%BE%E6%89%80%E7%A4%BA%2C%E7%82%B9F%E3%80%81%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AF%E6%A4%AD%E5%9C%86%CE%93%E7%9A%84%E7%84%A6%E7%82%B9%E5%92%8C%E5%87%86%E7%BA%BF.%E5%BC%A6AB%E3%80%81TS%E5%9D%87%E8%BF%87F.%E8%BF%87%E7%82%B9T%2CS%E5%88%86%E5%88%AB%E4%BD%9C%E6%A4%AD%E5%9C%86%CE%93%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BFTC%2CSD%2C%E5%85%B6%E4%B8%ADC%2CD%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AF%E4%B8%A4%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%B8%8E%E7%9B%B4%E7%BA%BFAB%E7%9A%84%E4%BA%A4%E7%82%B9.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A1%2FFA+%EF%B9%A31%2FFB+%3D+1%2FFC%EF%B9%A31%2FFD%E6%B3%A8%EF%BC%9A1%E3%80%81%E6%88%91%E5%B7%B2)
椭圆的蝴蝶定理变形如图所示,点F、直线l分别是椭圆Γ的焦点和准线.弦AB、TS均过F.过点T,S分别作椭圆Γ的切线TC,SD,其中C,D分别是两切线与直线AB的交点.求证:1/FA ﹣1/FB = 1/FC﹣1/FD注:1、我已
椭圆的蝴蝶定理变形
如图所示,点F、直线l分别是椭圆Γ的焦点和准线.弦AB、TS均过F.过点T,S分别作椭圆Γ的切线TC,SD,其中C,D分别是两切线与直线AB的交点.
求证:1/FA ﹣1/FB = 1/FC﹣1/FD
注:1、我已知道直线TC,SD与准线l交于一点,故我在图中已标明其交点K
2、本题实际上是广义蝴蝶定理中,有两条弦趋于重合时的退化结论
证明要求:1、最好可以给出多个证明,涉及几何学的多个分支,如欧式几何、仿射几何、射影几何、解析几何,或者用三角函数、向量、复数等代数方法证明
2、最好可以给出一个直接用椭圆的几何性质证明的初等方法
椭圆的蝴蝶定理变形如图所示,点F、直线l分别是椭圆Γ的焦点和准线.弦AB、TS均过F.过点T,S分别作椭圆Γ的切线TC,SD,其中C,D分别是两切线与直线AB的交点.求证:1/FA ﹣1/FB = 1/FC﹣1/FD注:1、我已
鄙人不才,目前只想出一个欧式几何证法.
证明:设直线AB,CD与准线l分别交于点P,Q
过点K作KL∥AB交直线TS于点L
由平行可以得到KL:CF=TL:FT=(TQ﹣QL):FT
同理KL:DF=(QL﹣SQ):FS
∴KL(1/CF﹣1/DF)=QL(1/FT﹣1/FS)+TQ:FT﹣SQ:FS
设T,S在准线l上的射影为T',S'
则TQ:FT﹣SQ:FS=TQ:(eTT')﹣SQ:(eSS')=1/(ecosα)﹣1/(ecosα)=0
由焦半径公式FT=ep/(1-ecosθ),容易化简得到1/FT﹣1/FQ=2|cosθ|/p=2/FQ
∴1/CF﹣1/DF=(QL:KL)×2/FQ
由平行,QL:KL=PF:QF,∴1/CF﹣1/DF=2/PF
仿照1/FT﹣1/FQ=2/FQ,可得1/FA﹣1/FB=2/PF
∴1/FC﹣1/FD=1/FA﹣1/FB